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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010同志社大 理系(全学部日程) 4(1)~(3)




第4問

  関数fn(x) (n=1,2,3,・・・・)を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2n}\ (-x^2)^k\end{align*}}$
  と定める。次の問いに答えよ。

 (1) 0<x<1であるxについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)\end{align*}}$ を計算せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}\end{align*}}$ を計算せよ。

 (3) n=1,2,3,・・・・に対して次の不等式が成立することを示せ。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt3}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$ が成立することを示せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\end{align*}}$ を計算せよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/09(日) 02:09:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
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