第2問
自然数a、bに対し、
$\small\sf{\begin{align*}\sf w=\cos\frac{a\pi}{3+b}+i\sin\frac{a\pi}{3+b} \end{align*}}$
とおく。ただし、i は虚数単位とする。複素数$\small\sf{z_n\ (n=1,2,3,\cdots )}$ を以下のように定める。
$\small\sf{z_1=1\ ,\ \ z_2=1-w\ ,\ \ z_n=(1-w)z_{n-1}+wz_{n-2}\ \ (n=3,4,5,\cdots)}$
このとき以下の問いに答えよ。
(1) a=4、b=3のとき、複素数平面上の点$\small\sf{z_{1},\ z_2,\ z_3,\ z_4,\ z_5,\ z_6,\ z_7}$ をこの順に線分で
結んでできる図形を図示せよ。
(2) a=2、b=1のとき、$\small\sf{z_{63}}$ を求めよ。
(3) さいころを2回投げ、1回目に出た目をa、2回目に出た目をbとする。このとき
$\small\sf{z_{63}=0}$ である確率を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n-z_{n-1}=-w\left(z_{n-1}-z_{n-2}\right) \end{align*}}$
と変形できるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{z_{n+1}-z_{n}\right\}\ \ (n=1,2,3,\cdots)\end{align*}}$ は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{n+1}-z_{n}=\left(-w\right)^{n-1}\left(z_2-z_1\right)=\left(-w\right)^{n}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$
これより、n≧2であるnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n= z_1+\sum_{k=1}^{n-1}(z_{k+1}-z_k)=1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-w\right)^{k} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cdot\ w\ne -1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n= 1+\frac{-w\left\{1-(-w)^{n-1}\right\}}{1-(-w)} =\frac{1-(-w)^n}{1-(-w)}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (**) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cdot\ w=-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n= 1+1\cdot(n-1)=n\end{align*}}$
これらはn=1のときも成り立つ。
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=4\ ,\ b=3\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -w=-\left(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi\right)=\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\end{align*}}$
このとき、$\scriptsize\sf{(*)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2&=\sf 1-w \\ &=\sf 1+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)\\ &=\sf \frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_3&=\sf z_2+(-w)^2 \\ &=\sf z_2+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^2\\ &=\sf \frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i+\left(\cos\frac{10}{3}\pi+i\sin\frac{10}{3}\pi\right)\\ &=\sf 1-\sqrt3\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_4&=\sf z_3+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^3\\ &=\sf 1-\sqrt3\ i+\left(\cos5\pi+i\sin5\pi\right)\\ &=\sf -\sqrt3\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_5&=\sf z_4+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^4\\ &=\sf -\sqrt3\ i+\left(\cos\frac{20}{3}\pi+i\sin\frac{20}{3}\pi\right)\\ &=\sf -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_6&=\sf z_5+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^5\\ &=\sf -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i+\left(\cos\frac{25}{3}\pi+i\sin\frac{25}{3}\pi\right)\\ &=\sf 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_7&=\sf z_6+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^6\\ &=\sf 0+\left(\cos10\pi+i\sin10\pi\right)\\ &=\sf 1\end{align*}}$
これらを図示すると右図のようになる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=2\ ,\ b=1\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -w=-\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=-i\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (-w)^4=(-i)^4=1\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{(**)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{63}&=\sf \frac{1-(-i)^{63}}{1+i} \\ &=\sf \frac{1-\left\{(-i)^4\right\}^{15}\cdot (-i)^3}{1+i}\\ &=\sf \frac{1-(-i)^3}{1+i}\\ &=\sf \frac{1-i}{1+i}\\ &=\sf \frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}\\ &=\sf \underline{-i}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=-1\end{align*}}$ のときは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{63}=63\ne 0\end{align*}}$
なので、以下は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w\ne -1\end{align*}}$ の場合を考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{63}=\frac{1-(-w)^{63}}{1-(-w)}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (-w)^{63}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ w^{63}=\left(\cos\frac{a\pi}{3+b}+i\sin\frac{a\pi}{3+b} \right)^{63}=\cos\frac{63a\pi}{3+b}+i\sin\frac{63a\pi}{3+b}= -1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{63a\pi}{3+b}=(2n-1)\pi \end{align*}}$ (n：自然数）
これを満たすようなa、bの値の組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(1,\ 4)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=9\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(1,\ 6)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=7\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(2,\ 3)\ ,\ (3,\ 6)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=21\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(3,\ 4)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=27\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(5,\ 6)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=35\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(5,\ 4)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=45\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(4,\ 1)\ ,\ (5,\ 2)\ ,\ (6,\ 3)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=63\pi\end{align*}}$
ただし、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=63\pi\end{align*}}$ のときは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=1\end{align*}}$ となり不適。
2つのさいころの目の出方の総数は62通りなので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{6^2}=\underline{\frac{7}{36}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/09(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
