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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標空間における4点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)、
  D(0,0,-1)をとる。
 
 (1) 3点A、B、Cの定める平面ABCと原点を通る直線Lが交わる点をPとする。
    直線Lが点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\ \frac{1}{2},\ 1\right)\end{align*}}$ を通るとき、点Pの座標は
            ( ト  ナ  ニ  )
    となる。
    0<a<1である実数aを用いて、線分ABをa:(1-a)に内分する点をMと
    したとき、Mの座標は
            ( ヌ  ネ  ノ  )
    と表せる。このとき、線分MPの長さの2乗をaを用いて表すと、
            MP2=2(a- ハ  )2+  ヒ 
    となる。よって、線分MPの長さを最小にするaの値は ハ  となる。
        (注:  ハ  ヒ  には、数を入れよ。)

 (2) 点Pを通るz軸に平行な直線と3点A、B、Dの定める平面ABDとの交点を
    Qとする。(1)で定めた線分MPの長さを最小にするaの値を用いるとき、
    線分MQの長さは フ  となるので、∠PMQを$\small\sf{\theta}$ としたとき、cos$\small\sf{\theta}$ = ヘ 
    となる。よって、△PMQの面積は ホ  となる。
    3点P、M、Qの定める平面PMQへ点Cから垂線を下ろす。垂線の足をHと
    するとき、線分CHの長さは マ  となる。よって、四面体CPMQの体積は
     ミ  となる。




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