第4問
xy平面上の曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{1}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
を考える。0<p<q のとき、C上の2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(p\ ,\ \frac{1}{p}\right)\ \ ,\ \ Q\left(p\ ,\ \frac{1}{q}\right)\end{align*}}$
を通る直線とCで囲まれる図形の面積をSとし、その図形をx軸の
まわりに1回転してできる回転体の体積をVとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{q}{p}\end{align*}}$ とおくとき、SおよびVの値をp、rを用いて表せ。
(2) 自然数nに対して、p=3n-1、q=3nのときのVの値をVnとおく。
無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}V_n\end{align*}}$ の和を求めよ。
--------------------------------------------
【解答】
(1)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{p}=\frac{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{q-p}\left(x-p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{pq}\left(x-p-q\right)\end{align*}}$
となり、曲線Cとの位置関係は右図のようになるので、
囲まれる部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_p^q\left\{-\frac{1}{pq}\left(x-p-q\right)-\frac{1}{x}\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{2pq}\left(x-p-q\right)^2-\log x\right]_p^q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2pq}\left(p^2-q^2\right)-\left(\log q-\log p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{q}{p}-\frac{p}{q}\right)-\log\frac{q}{p}\end{align*}}$ .
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{q}{p}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{1}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right)-\log r\ }\end{align*}}$ .
また、囲まれた部分をx軸の回りに回転してできる立体の体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_p^q\pi\left\{\frac{1}{p^2q^2}\left(x-p-q\right)^2-\frac{1}{x^2}\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{3p^2q^2}\left(x-p-q\right)^3+\frac{1}{x}\right]_p^q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3p^2q^2}\left(-p^3+q^3\right)+\pi\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)\end{align*}}$
となり、q=prを代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3p^4r^2}\left(-p^3+p^3r^3\right)+\pi\left(\frac{1}{pr}-\frac{1}{p}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3pr^2}\left(r^3-3r^2+3r-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3pr^2}\left(r-1\right)^3\ }\end{align*}}$ .
(2)
(1)で求めたVに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=3^{n-1}\ \ ,\ \ r=\frac{3^n}{3^{n-1}}=3\end{align*}}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_n=\frac{\pi}{3\cdot3^{n-1}\cdot 3^2}\left(3-1\right)^3=\frac{8\pi}{27}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\end{align*}}$
となり、{Vn}は等比数列をなす。
0<公比<1なので、求める無限級数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}V_n=\frac{8\pi}{27}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}"\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =\frac{4\pi}{9}\ }\end{align*}}$ .
Vは思っていた以上にきれいな形になりましたね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/07/21(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2013
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0