2013九州大 理系数学５

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【解答】

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -t-x & \sf -x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 5x-6y&\sf 4x-5y \\ \sf x-5t & \sf x-4t \end{pmatrix}\end{align*}}$
　(１)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　　　(AB)²＝2(3x－3y－2t)AB－(x²－xy－ty)E
　　　となり、これが対角行列なので、(1，2)および(2，1)成分は
　　　　　　　　(3x－3y－2t)(4x－5y)＝0　かつ
　　　　　　　　(3x－3y－2t)(x－5t)＝0
　　　となる。題意より、3x－3y－2t≠0なので、
　　　　　　　　4x－5y＝x－5t＝0　⇔　x＝5t、 y＝4t
　　　このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 5t&\sf 4t \\ \sf -6t& \sf -5t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}=tB\end{align*}}$
　　　となり、題意は示された。


　(２)
　　　まず、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1\end{pmatrix}=E\end{align*}}$
　　　であり、3x－3y－2t≠0と仮定する。
　　　このとき、(１)より、A＝tBであり、
　　　A²≠E、A⁴＝E、E≠Oなので、
　　　　　　　　A²＝t²E≠E　⇔　t²≠1
　　　　　　　　A⁴＝t⁴E＝E　⇔　t⁴＝1
　　　これらを同時に満たす実数tは存在しないので、矛盾する。
　　　よって、3x－3y－2t＝0　････① となる。


　(３)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　　　A²＝(x²－xy－ty)E
　　　ここで、A²≠E、A⁴＝E、E≠Oなので、
　　　　　　A²＝(x²－xy－ty)E≠E　⇔　x²－xy－ty≠1
　　　　　　A⁴＝(x²－xy－ty)²E＝E　⇔　(x²－xy－ty)²＝1
　　　となり、これらを同時に満たす条件は、　
　　　　　　　　x²－xy－ty＝－1　････②
　　　これに①を代入すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-(x+t)\left(x-\frac{2}{3}t\right)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ tx=2t^2+3\end{align*}}$
　　　この式はt＝0のとき成立しないので、両辺をtで割ると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ 2t+\frac{3}{t}\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(2t+\frac{3}{t}\right)-\frac{2}{3}t=\underline{\ \frac{4}{3}t+\frac{3}{t}\ }\end{align*}}$


　(４)
　　　xは整数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{t}\end{align*}}$ が整数。よって、tは3の約数である。
　　　また、yは整数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{3}\end{align*}}$ も整数となる、よって、tは3の倍数である。
　　　これらより、t＝±3である。

　　　(ⅰ) t＝3のとき
　　　　　　　x＝7、 y＝5となるので、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 7&\sf 5 \\ \sf -10 & \sf -7 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
　　　(ⅱ) t＝－3のとき
　　　　　　　x＝－7、 y＝－5となるので、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf -7&\sf -5 \\ \sf 10 & \sf 7 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$



　　そのまま誘導に乗っていけばよいのですが・・・