2013九州大 理系数学２

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【解答】

　　　MはAPを2：1に、NはCPを1：1に内分する点なので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
　　　また、BC上の点Qについて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=t\ \overrightarrow{\sf CB}=t\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$　（tは実数）
　　　と表せるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf CQ}-\overrightarrow{\sf OP}=-\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$

　　　OP＝xとおく。

　　　四角形OABCは正方形なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$　　････①
　　　であり、題意より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\end{align*}}$　････②


　　　平面OMN⊥PQより、PQ⊥OM かつ PQ⊥ON なので、
　　　①、②　内積を計算すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf ON}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{-2|\overrightarrow{\sf OP}|^2+t|\overrightarrow{\sf OA}|^2+(2t-1)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+2\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{-2x^2+t+\frac{1}{4}(2t-1)+1\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -8x^2+6t+3=0\end{align*}}$　････③

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf ON}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-|\overrightarrow{\sf OP}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+t\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+t\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(-x^2+1+\frac{1}{4}t\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -4x^2+t+4=0\end{align*}}$　････④

　　　③－④×2より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4t+5=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{5}{4}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=\frac{5}{4}\ \overrightarrow{\sf CQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ BQ:CQ=1:5\ }\end{align*}}$ ．
　　　このとき③より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -8x^2+6\cdot\frac{5}{4}+3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ OP=x=\underline{\ \frac{\sqrt {21}}{4}\ \ (>0)}\end{align*}}$




　　平面OMN⊥PQ　⇔　PQ⊥OM かつ PQ⊥ON　ですね。