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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪大 理系数学4



第4問

  a、b、cを正の定数とし、xの関数$\small\sf{\sf f(x)=x^3+ax^2+bx+c}$ を考える。
  以下、定数はすべて実数とする。

 (1) 定数p、qに対し、次を満たす定数rが存在することを示せ。
     $\small\sf{\sf x\geqq 1}$ ならば、$\small\sf{\sf |\ px+q\ |\leqq rx}$

 (2) 恒等式$\small\sf{\sf (\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3}$ を用いて、次を満たす
    定数k、L が存在することを示せ。
     $\small\sf{\sf x\geqq 1}$ ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \ \sqrt[3]{\sf \ f\ (x)}-x-k\ \right|\leqq\frac{L}{x}\end{align*}}$

 (3) すべての自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]{\sf \ f\ (x)}\end{align*}}$ が自然数であるとする。このとき
    関数f(x)は、自然数mを用いて$\small\sf{\sf f(x)=(x+m)^3}$ と表されることを示せ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2011/09/29(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2011
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