2013九州大 文系数学４

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【解答】

　(１)
　　　円C：(x－1)²＋(y－1)²＝2 と直線L：y＝x－2の
　　　2式を連立させると、
　　　　　　　　(x－1)²＋{(x－2)－1}²＝1
　　　　　　⇔　2x²－8x＋8＝0
　　　　　　⇔　2(x－2)²＝0
　　　　　　⇔　x＝2
　　　となり、重解をもつので、CとLは接する。
　　　このとき、
　　　　　　　　y＝2－2＝0
　　　なので、接点の座標は、(2，0)である。


　(２)
　　　放物線P： $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{4}x^2-1\end{align*}}$ とCの2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-1\right)^2+\left\{\left(\frac{1}{4}x^2-1\right)-1\right\}^2=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{16}x^4-2x+3=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{16}(x-2)^2(x^2+4x+12)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-2)^2\left\{(x+2)^2+8\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\end{align*}}$
　　　このとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{4}\cdot 2^2-1=0\end{align*}}$
　　　となるので、PとCの共有点の座標は、(2，0)である。


　(３)
　　　(１)、(２)より、C、P、Lの位置関係は
　　　右図１のようになる。　









　　　・領域Aについて
　　　　　x≧0、y≧0のとき、x＋y≦2
　　　　　x≧0、y≧≦のとき、x－y≦2
　　　　　x≦0、y≧0のとき、－x＋y≦2
　　　　　x≦0、y≦0のとき、－x－y≦2
　　　　これを図示すると、右図2のようになる




　　　・領域Eについて
　　　　　x≧0のとき
　　　　　　　(x－1)²＋(y－1)²≦2
　　　　　x≦0のとき
　　　　　　　(x＋1)²＋(y－1)²≦2
　　　　これを図示すると、右図3のようになる





　　　以上より、D∩E すなわち、(A∪B)∩E は
　　　右図4のようになる。







　　　図5のように分割すると、
　　　　　半円ア＋半円イ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt2\right)^2\cdot\pi=2\pi\end{align*}}$
　　　　　直角二等辺三角形ウ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cdot4\cdot\frac{1}{2}=4\end{align*}}$
　　　　　放物線Pとx軸で囲まれる部分エ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-2}^2\left\{-\left(\frac{1}{4}x^2-1\right)\right\}dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}(2+2)^3=\frac{8}{3}\end{align*}}$
　　　となるので、求める面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\pi+4+\frac{8}{3}=\underline{\ \frac{20}{3}+2\pi\ }\end{align*}}$




　　図の対称性をうまく利用しましょう。