2013九州大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　DはAPを1：3に内分する点なので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OA}\ }\end{align*}}$
　　　EはCPを1：1に内分する点なので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　QはBCをt：(1－t)に内分する点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OC}+(1-t)\overrightarrow{\sf CB}=\overrightarrow{\sf OC}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ -\overrightarrow{\sf OP}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　OP＝AP＝BP＝CP＝x とおくと、
　　　△OPAにおいて余弦定理より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle POA=\frac{-x^2+x^2+1^2}{2\cdot 1\cdot x}=\frac{1}{2x}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=1\cdot x\cdot\frac{1}{2x}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$


　(４)
　　　(３)と同様に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　であり、四角形OABCは正方形なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$

　　　PQ⊥平面ODE ⇔ PQ⊥OD かつ PQ⊥OE　なので、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf OD}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left\{-|\overrightarrow{\sf OP}|^2+3(1-t)|\overrightarrow{\sf OA}|^2-(t+2)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}+3\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left\{-x^2+3(1-t)-\frac{1}{2}(t+2)+\frac{1}{2}\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x^2-7t+5=0\end{align*}}$　････①

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf OE}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-|\overrightarrow{\sf OP}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-x^2+1+\frac{1}{2}(1-t)\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x^2-t+3=0\end{align*}}$　････②

　　　①、②を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{1}{3}\ }\ \ ,\ \ OP=x=\underline{\ \frac{2}{\sqrt3}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
　　　



　　面倒がらずに計算しましょう。