第5問
動点Pが、図のような正方形ABCDの頂点Aから出発し、さいころを
ふるごとに、次の規則により正方形のある頂点から他の頂点に移動
する。
出た目の数が2以下なら辺ABと平行な方向に移動する
出た目の数が3以上なら辺ADと平行な方向に移動する
nを自然数とするとき、さいころを2n回ふった後に動点PがAにいる
確率をan、Cにいる確率をcnとする。次の問いに答えよ。
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【解答】
サイコロを2回投げる場合を考える。
(ア) 2回とも2以下の目が出る、または2回とも3以上の目が出る場合
動点は同じ頂点に戻り、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\end{align*}}$
(イ) 2以下の目が1回、3以上の目が1回出る場合
動点は、A→C、B→D、C→A、D→Bのように
2つ隣の頂点に移動し、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot2=\frac{4}{9}\end{align*}}$
(1)
2回でAに戻るためには、(ア)のように移動すればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$
(2)
「2n回ふった後、動点PはAまたはCにいる」・・・・(※) ことを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
2回さいころをふって
(ア)のように移動すると、動点はAに戻り、
(イ)のように移動すると、動点はCに移動するので、
(※)は成り立つ。
(ⅱ) k回ふった後、動点PがAにいる場合、
次に2回さいころをふって
(ア)のように移動すると、動点はAに戻り、
(イ)のように移動すると、動点はCに移動する。
k回ふった後、動点PがCにいる場合、
次に2回さいころをふって
(ア)のように移動すると、動点はCに戻り、
(イ)のように移動すると、動点はAに移動する。
よって、n=k+1のときも(※)が成立する。
以上より、任意の自然数nに対して、
2n回ふった後、動点PはAまたはCにいることが示された。
(3)
(2)の(ⅰ)を式で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{5}{9}\ \ ,\ \ c_1=\frac{4}{9}\end{align*}}$ ・・・・①
(2)の(ⅱ)を式で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{5}{9}a_n+\frac{4}{9}c_n\ \ ,\ \ \ c_{n+1}=\frac{4}{9}a_n+\frac{5}{9}c_n\end{align*}}$
のようになり、これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-c_{n+1}=\frac{1}{9}\left(a_n-c_n\right)\end{align*}}$
となるので数列{ak-ck}は等比数列となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-c_n=(a_1-c_1)\cdot\left(\frac{1}{9}\right)^{k-1}=\left(\frac{1}{9}\right)^k\end{align*}}$ ・・・・②
また(2)より、動点Pは必ずAまたはCにいるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+c_n=1\end{align*}}$ ・・・・③
(②+③)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{\ \frac{1}{2}\left\{1+\left(\frac{1}{9}\right)^n\right\}\ }\end{align*}}$
(②-③)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\underline{\ \frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^n\right\}\ }\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(\frac{1}{9}\right)^n=0\end{align*}}$
なので、(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ c_n=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(3)は普通に漸化式を作れば大丈夫でしょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/06/05(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2013
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