2013神戸大 理系数学２

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【解答】

　　　PR=1より　
　　　　　　　　PQ²+RQ²=1
　　　　　　⇔　(r－p)²+(r²－p²)²=1　････①
　　　また、長方形PQRSの面積をAとおくと、
　　　　　　　　A=PQ･RQ

　　　ここで、PQ＞0、RQ＞0なので、
　　　相加･相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{PQ^2+RQ^2}{2}\geqq PQ\cdot RQ\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\geqq A\end{align*}}$
　　　となり、等号が成立するのは、
　　　　　　　　PQ²=RQ²
　　　　　　⇔　PQ=RQ （＞0）
　　　　　　⇔　r－p=r²－p²　････②
　　　のときである。

　　　②を①に代入すると、
　　　　　　　　(r－p)²+(r－p)²=1
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r-p=\frac{\sqrt2}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$　････③
　　　また、②の両辺をr－p（≠0）で割ると、
　　　　　　　　r+p=1 ．
　　　これと③を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{2-\sqrt2}{4}\ \ ,\ \ r=\frac{2+\sqrt2}{4} }\end{align*}}$
　　　となり、このとき長方形の面積は最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2} }\end{align*}}$ をとる。




　　2本の対角線のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと
　　　　　　　　長方形PQRS=PR･QS･sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =sin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　となるので、面積が最大になるのは$\scriptsize\sf{\theta}$ =90°、
　　すなわちPQRSが正方形になるときです。