2013名古屋大 文系数学３

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【解答】

　　　整数m、n（n≧1）に対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_m(n)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kn^k\end{align*}}$
　　　とおくと、二項定理より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+n)^m=_mC_0+_mC_1n+_mC_2n^2+\ldots +_mC_{m-1}n^{m-1}+_mC_mn^m\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ _mC_1n+_mC_2n^2+\ldots +_mC_{m-1}n^{m-1}=(1+n)^m-_mC_0-_mC_mn^m\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ U_m(n)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kn^k=(1+n)^m-n^m-1\end{align*}}$

　(１)
　　　与えられた定義より、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m(1)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(1)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_k\cdot 1^k\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =U_m(1)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1+1)^m-1^m-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2^m-2\ }\end{align*}}$ ．

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m(2)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(2)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_k\left(1^k+2^k\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =U_m(1)+U_m(2)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2^m-1^m-1)-(3^m-2^m-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3^m-3\ }\end{align*}}$ ．


　(２)
　　　(１)と同様に
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m(n)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(n)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_k\left(1^k+2^k+\ldots +n^k\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =U_m(1)+U_m(2)+\ldots +U_m(n)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2^m-1^m-1)-(3^m-2^m-1)+\ldots \end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\{n^m-(n-1)^m-1\}+\{(n+1)^m-n^m-1\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)^m-1^m-(1+1+\ldots +1)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (n+1)^m-(n+1) }\end{align*}}$


　(３)
　　　まず、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(p-1)=1+2+\ldots +(p-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(p-1)p\end{align*}}$
　　　　　　　pは3以上の素数なので、p－1は偶数。
　　　　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}(p-1)\end{align*}}$ は整数となるので、
　　　　　　　S₁(p－1)はpの倍数である。
　　　　　　　S₁(p－1)＝pA　（A：整数）とおく。････①

　　　(２)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_3(p-1)=_3 C_1S_1(p-1)+_3 C_2S_2(p-1)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^3-p=3pA+3S_2(p-1)\end{align*}}$　　←①より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3S_2(p-1)=p(p^2-1-3A)\end{align*}}$
　　　　　右辺はpの倍数となり、3とpは互いに素なので、
　　　　　S₂(p－1)はpの倍数である。
　　　　　S₂(p－1)＝pB　（B：整数）とおく。　････②

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_4(p-1)=_4 C_1S_1(p-1)+_4 C_2S_2(p-1)+_4 C_3S_3(p-1)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^4-p=4pA+6pB+4S_3(p-1)\end{align*}}$　　←①、②より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4S_3(p-1)=p(p^3-1-4A-6B)\end{align*}}$
　　　　　右辺はpの倍数となり、4とpは互いに素なので、
　　　　　S₃(p－1)はpの倍数である。
　　　　　S₃(p－1)＝pC　（C：整数）とおく。　････③

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_5(p-1)=_5 C_1S_1(p-1)+_5 C_2S_2(p-1)+_5 C_3S_3(p-1)+_5 C_4S_4(p-1)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^5-p=5pA+10pB+10pC+5S_4(p-1)\end{align*}}$　　←①、②、③より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5S_4(p-1)=p(p^4-1-5A-10B-10C)\end{align*}}$
　　　　　右辺はpの倍数となるり、5とpは互いに素なので、
　　　　　S₄(p－1)はpの倍数である。




　　(３)で(２)を使うことに気づきますかね？？
　　これは難しいと思いますよ。