2013名古屋大 理系数学１

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【解答】

　(１)
　　　3人でジャンケンを行うとき、
　　　　(ア)勝者が1人になる確率
　　　　　　　手の出し方の総数は3³通り。
　　　　　　　勝者の選び方が3通り、決まり手の選び方が3通りあるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\cdot 3}{3^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　(イ)勝者が2人になる確率
　　　　　　　敗者が1人であると考えると、(ア)と同様に、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\cdot 3}{3^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　(ウ)アイコになる確率
　　　　　　　(ア)、(イ)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{3}\ ,\ q_1=\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ．


　(２)
　　　2人でジャンケンを行うとき、
　　　　(エ)勝者が1人になる確率
　　　　　　　手の出し方の総数は3²通り。
　　　　　　　勝者の選び方が2通り、決まり手の選び方が3通りあるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\cdot 3}{3^2}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　(オ)アイコになる確率
　　　　　　　(エ)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$

　　　n回目終了時に残っている人数をA_nとおく。

　　　A_n+1＝3となるのは、A_n＝3の状態から、n＋1回目のジャンケンで
　　　アイコになればよいので、(ウ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{3}\ p_n\end{align*}}$
　　　となる。数列{p_n}は等比数列となるので、その一般項は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}p_1=\underline{\ \left(\frac{1}{3}\right)^n\ }\end{align*}}$

　　　一方、A_n+1＝2となるのは、
　　　　　・A_n＝3の状態から、n＋1回目のジャンケンで2人勝ち (イ)
　　　　　・A_n＝2の状態から、n＋1回目のジャンケンでアイコ (オ)
　　　の2つの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{3}q_n=\frac{1}{3}q_n+\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\end{align*}}$ ．
　　　両辺に3ⁿ⁺¹をかけると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{n+1}q_{n+1}=3^nq_n+1\end{align*}}$
　　　となり、数列{3ⁿq_n}は、公差1の等差数列になる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^nq_n=3^1q_1+(n-1)=n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q_n=\frac{n}{3^n}\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　求める確率をr_nとおく。
　　　n＝1のとき、(ア)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_1=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ．
　　　n≧2のとき
　　　A_n＝1となるのは、
　　　　　・A_n-1＝3の状態から、n回目のジャンケンで1人勝ち (ア)
　　　　　・A_n-1＝2の状態から、n回目のジャンケンで1人勝ち (エ)
　　　の2つの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{n-1}{3^{n-1}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2n-1}{3^n}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　これは、n＝1のときも満たすので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ r_n=\frac{2n-1}{3^n}\ }\end{align*}}$
　　　である。



　　これはよくある問題ですね。確実にゲットしましょう！