2013一橋大 数学５

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【解答】

　　　　s_n＝10^n-1a₁＋10^n-2a₂＋････＋10a_n-1＋a_n　････(※)
　
　(１)
　　　・n＝1のとき
　　　　　　s₁＝a₁が4で割り切れるのは、a₁＝4のときであり、
　　　　　　その確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ である。
　　　・n＝2のとき
　　　　　　s₂＝10a₁＋a₂が4で割り切れるのは、
　　　　　　　10a₁＋a₂＝12，16，24，32，36，44，52，56，64
　　　　　　のときであり、その確率は、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{6^2}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　　　である。
　　　・n≧3のとき
　　　　　　s_n＝100(10^n-3a₁＋････＋a_n-2)＋10a_n-1＋a_n
　　　　　　と変形できるので、10a_n-1＋a_nが4で割り切れればよい。
　　　　　　その確率は、上と同様に
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{6^2}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　　　である。
　　　以上より、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ \ (n=1)\ \ \ ,\ \ \ \frac{1}{6}\ \ (n\geqq 2)\ }\end{align*}}$ ．


　(２)
　　　s_nを6で割った余りをr_nとおくと、
　　　(※)より
　　　　s_n+1＝10ⁿa₁＋10^n-1a₂＋････＋10a_n＋a_n+1
　　　　　　　＝10(10^n-1a₁＋10^n-2a₂＋････＋a_n)＋a_n+1
　　　　　　　＝10s_n＋a_n+1
　　　　　　　＝10(6m＋r_n)＋a_n+1　　（m：整数）
　　　　　　　＝6(10m＋r_n)＋4r_n＋a_n+1
　　　　と変形できるので、、s_n+1が6で割り切れる、
　　　　すなわちr_n+1＝0 となるためには、
　　　　4r_n＋a_n+1が6で割り切れればよい。

　　　(ⅰ) r_n＝0のとき
　　　　　　　　　　4r_n＋a_n+1＝a_n+1
　　　　　　　より、r_n+1＝0　⇔　a_n+1＝6
　　　(ⅱ) r_n＝1のとき
　　　　　　　　　　4r_n＋a_n+1＝4＋a_n+1
　　　　　　　より、r_n+1＝0　⇔　a_n+1＝2
　　　(ⅲ) r_n＝2のとき
　　　　　　　　　　4r_n＋a_n+1＝8＋a_n+1
　　　　　　　より、r_n+1＝0　⇔　a_n+1＝4
　　　(ⅳ) r_n＝3のとき
　　　　　　　　　　4r_n＋a_n+1＝12＋a_n+1
　　　　　　　より、r_n+1＝0　⇔　a_n+1＝6
　　　(ⅴ) r_n＝4のとき
　　　　　　　　　　4r_n＋a_n+1＝16＋a_n+1
　　　　　　　より、r_n+1＝0　⇔　a_n+1＝2
　　　(ⅵ) r_n＝5のとき
　　　　　　　　　　4r_n＋a_n+1＝20＋a_n+1
　　　　　　　より、r_n+1＝0　⇔　a_n+1＝4

　　　r_n＝k　（k＝0，1，･･･，5）となる確率をp_n,kとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n,0}+p_{n,1}+p_{n,2}+p_{n,3}+p_{n,4}+p_{n,5}=1\end{align*}}$
　　　であり、(ⅰ)～(ⅵ)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1,0}=\frac{1}{6}p_{n,0}+\frac{1}{6}p_{n,1}+\frac{1}{6}p_{n,2}+\frac{1}{6}p_{n,3}+\frac{1}{6}p_{n,4}+\frac{1}{6}p_{n,5}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1,0}=\frac{1}{6}\end{align*}}$ ．
　　　また、n＝1のときは、a₁＝6であればよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{1,0}=\frac{1}{6}\end{align*}}$ ．
　　　よって、任意のnに対して、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n,0}=\underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
　　　である。



　(３)
　　　s_nを7で割った余りをR_nとおくと、
　　　(２)と同様に
　　　　s_n+1＝10s_n＋a_n+1
　　　　　　　＝10(7M＋R_n)＋a_n+1　　（M：整数）
　　　　　　　＝7(10m＋R_n)＋3R_n＋a_n+1
　　　　と変形できるので、s_n+1が7で割り切れる、
　　　　すなわちR_n+1＝0 となるためには、
　　　　3R_n＋a_n+1が7で割り切れればよい。

　　　(ア) R_n＝0のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0 となるようなa_n+1は存在しない。
　　　(イ) R_n＝1のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝3＋a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0　⇔　a_n+1＝4
　　　(ウ) R_n＝2のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝6＋a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0　⇔　a_n+1＝1
　　　(エ) R_n＝3のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝9＋a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0　⇔　a_n+1＝5
　　　(オ) R_n＝4のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝12＋a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0　⇔　a_n+1＝2
　　　(カ) R_n＝5のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝15＋a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0　⇔　a_n+1＝6
　　　(キ) R_n＝6のとき
　　　　　　　　　　3R_n＋a_n+1＝18＋a_n+1
　　　　　　　より、R_n+1＝0　⇔　a_n+1＝3

　　　R_n＝k　（k＝0，1，･･･，6）となる確率をP_n,kとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n,0}+P_{n,1}+P_{n,2}+P_{n,3}+P_{n,4}+P_{n,5}+P_{n,6}=1\end{align*}}$
　　　なので、(ア)～(キ)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1,0}=\frac{1}{6}P_{n,1}+\frac{1}{6}P_{n,2}+\frac{1}{6}P_{n,3}+\frac{1}{6}P_{n,4}+\frac{1}{6}P_{n,5}+\frac{1}{6}P_{n,6}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(P_{n,1}+P_{n,2}+P_{n,3}+P_{n,4}+P_{n,5}+P_{n,6}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(1-P_{n,0}\right)\end{align*}}$ ．
　　　この式は、tについての方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{6}(1-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{7}\end{align*}}$
　　　を用いて、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1,0}-\frac{1}{7}=-\frac{1}{6}\left(P_{n,0}-\frac{1}{7}\right)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_{n,0}-\frac{1}{7}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\left(P_{1,0}-\frac{1}{7}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　n＝1のときは、s₁が7で割り切れることはないので、P_1,0＝0 ．
　　　よって、任意のnに対して、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n,0}-\frac{1}{7}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_{n,0}=-\frac{1}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}+\frac{1}{7}\ }\end{align*}}$
　　　となる。


　　合同式を使えば書きやすいのですが・・・・（笑）