2013東京医科歯科大 数学３（１）～（３）

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　f(x)を微分すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=mx^{m-1}(1-x)^n+x^m\cdot n(1-x)^{n-1}\cdot(-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^{m-1}(1-x)^{n-1}\left\{m(1-x)-nx\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^{m-1}(1-x)^{n-1}\left\{(m+n)x-m\right\}\end{align*}}$
　　　となるので、0≦x≦1におけるf(x)の増減は次のようになる。

　　　よって、f(x)の最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)_{max}=f\left(\frac{m}{m+n}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{m}{m+n}\right)^m\left(1-\frac{m}{m+n}\right)^n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}\ }\end{align*}}$
　　　である。


　(２)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m,n}=\int_0^1\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　とおくと、部分積分法より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m,n}=\left[\frac{1}{m+n}x^{m+1}(1-x)^n\right]_0^1-\frac{1}{m+n}\int_0^1x^{m+1}\cdot n(1-x)^{n-1}\cdot (-1)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{m+n}\int_0^1x^{m+1}(1-x)^{n-1}\ dx\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ I_{m,n}=\frac{n}{m+n}\ I_{m+1,n-1}\end{align*}}$ ．
　　　同様に、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m+1,n-1}=\frac{n-1}{m+2}\ I_{m+2,n-2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m+2,n-2}=\frac{n-2}{m+3}\ I_{m+3,n-3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m+n-2,2}=\frac{2}{m+n-1} \ I_{m+n-1,1}\end{align*}}$
　　　であり、これらを辺々かけると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m,n}=\frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdot\frac{n-2}{m+3}\cdot \ldots \cdot\frac{2}{m+n-1} \ I_{m+n-1,1}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m+n-1,1}=\int_0^1x^{m+n-1}(1-x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^{m+n}}{m+n}-\frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{m+n}-\frac{1}{m+n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{(m+n)(m+n+1)}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_{m,n}=\frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdot\frac{n-2}{m+3}\cdot \ldots \cdot\frac{2}{m+n-1}\cdot\frac{1}{(m+n)(m+n+1)} \end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{m!\ n!}{(m+n+1)!}\ }\end{align*}}$
　　　となる。


　(３)
　　　条件(ⅰ)より
　　　　　　　　g(0)＝c＝0　かつ　g(1)＝a＋b＋c＝0
　　　なので、
　　　　　　　　g(x)＝ax²－ax＝－ax(1－x)
　　　と表すことができる。
　　　また、条件(ⅱ)より、0＜x＜1において、
　　　　　　　f(x)≦g(x)　⇔　x^m(1－x)ⁿ≦－ax(1－x)
　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　x^m-1(1－x)^n-1≦－a
　　　となるので、xの関数F(x)を
　　　　　　　　F(x)＝x^m-1(1－x)^n-1　　（0≦x≦1）
　　　とおくと、
　　　　　　　　F(x)の最大値≦－a
　　　であればよい。

　　　(ア) n＝1のとき
　　　　　　　　F(x)＝x^m-1　
　　　　　　となり、0≦x≦1では単調に増加するので、
　　　　　　　　　　F(x)_max＝F(1)＝1
　　　　　　　　⇔　1≦－a

　　　(イ) m＝1のとき
　　　　　　　　F(x)＝(1－x)^n-1　
　　　　　　となり、0≦x≦1では単調に減少するので、
　　　　　　　　　　F(x)_max＝F(0)＝1
　　　　　　　　⇔　1≦－a

　　　(ウ) m≠1 かつ n≠1のとき
　　　　　　　　F(x)＝x^m-1(1－x)^n-1
　　　　　　(１)と同様に考えると、　　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F(x)_{max}=F\left(\frac{m}{m+n}\right)=\frac{(m-1)^{m-1}\ (n-1)^{n-1}}{(m+n-2)^{m+n-2}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{(m-1)^{m-1}\ (n-1)^{n-1}}{(m+n-2)^{m+n-2}}\leqq -a\end{align*}}$

　　　一方、(ア)～(ウ)いずれの場合も a＜0であり、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=a\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{a}{4}\end{align*}}$
　　　となるので、0≦x≦1における最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a\ ,\ b\ ,\ c)=g\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{a}{4}\end{align*}}$ ．

　　　よって、(ア)、(イ)の場合、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a\ ,\ b\ ,\ c)=-\frac{a}{4}\geqq \frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　(ウ)の場合、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a\ ,\ b\ ,\ c)=-\frac{a}{4}\geqq \frac{(m-1)^{m-1}\ (n-1)^{n-1}}{4(m+n-2)^{m+n-2}}\end{align*}}$ ．

　　　以上より、M(a，b，c)の最小値は、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a , b , c)_{min}=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \frac{1}{4} & (\sf m=1\ or\ n=1) \\ \sf \frac{(m-1)^{m-1}\ (n-1)^{n-1}}{4(m+n-2)^{m+n-2}} & (\sf m\ ,\ n\ne 1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$

　(４)
　　　(１)より、0≦x≦1において
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)\leqq f(x)_{max}=\frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}\end{align*}}$
　　　が成り立ち、等号が常に成り立つわけではないので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ f\ (x)\ dx<\int_0^1\frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m!\ n!}{(m+n+1)!}<\frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}\end{align*}}$　　←(２)より
　　　両辺＞0より逆数をとると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{(m+n+1)!}{m!\ n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}\ }\end{align*}}$
　　　

　　　一方、(３)の条件(ⅱ)より
　　　　　　　　f(x)≦g(x)
　　　　　　⇔　f(x)_max≦M(a，b，c)_min
　　　なので、m、n≧2のときは、(１)、(３)より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}\leqq\frac{1}{4}\cdot\frac{(m-1)^{m-1}\ (n-1)^{n-1}}{(m+n-2)^{m+n-2}}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m,n}=\frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m,n}\leqq\frac{1}{4}\ J_{m-1,n-1}\end{align*}}$ ．
　　　同様に、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m-1,n-1}\leqq\frac{1}{4}\ J_{m-2,n-2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m-2,n-2}\leqq\frac{1}{4}\ J_{m-3,n-3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m-n+2,2}\leqq\frac{1}{4}\ J_{m-n+1,1}\end{align*}}$
　　　であり、これらを辺々かけると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m,n}\leqq\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\ J_{m-n+1,1}\end{align*}}$ 　････(※)
　　　となる。　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m-n+1,1}=\frac{(m-n+1)^{m-n+1}\cdot 1^1}{(m-n+2)^{m-n+2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{m-n+2}\left(\frac{m-n+1}{m-n+2}\right)^{m-n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{m-n+2}\left(1-\frac{1}{m-n+2}\right)^{m-n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{1}{2}\cdot 1^{m-n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　なので、(※)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m,n}<\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m^m\ n^n}{(m+n)^{m+n}}<\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1}\end{align*}}$ ．
　　　両辺＞0なので、逆数をとると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1}\ }\end{align*}}$

　　　以上より、題意は示された。



　　一番最後の処理が少し難しいかもしれません。