2013東京工業大 数学２

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ax+bz&\sf ay+bw \\ \sf cx+dz & \sf cy+dw \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　Δ(AB)
　　　　　　=(ax+bz)(cy+dw)－(ay+bw)(cx+dz)
　　　　　　=acxy+adxw+bcyz+bdzw－acxy－adyz－bcxw－bdzw
　　　　　　=adxw+bcyz－adyz－bcxw
　　　　　　=ad(xw－yz)－bc(xw－yz)
　　　　　　=(ad－bc)(xw－yz)
　　　　　　=Δ(A)Δ(B)
　　　となるので、題意は示された。


　(２)
　　　A⁵=Eより、
　　　　　　　　Δ（A⁵)=Δ（E)=1
　　　であり、(１)より
　　　　　　Δ(A⁵)=Δ(A⁴)Δ（A)
　　　　　　　　　　=Δ(A³)Δ（A)Δ（A)
　　　　　　　　　　=Δ（A²)Δ（A)Δ（A)Δ（A)
　　　　　　　　　　=Δ（A)Δ（A)Δ（A)Δ（A)Δ（A)
　　　　　　　　　　={Δ（A)}⁵
　　　　　　　　　　=x⁵
　　　となるので、
　　　　　　　　x⁵=1　⇔　x=1 （∵xは実数）

　　　また、ハミルトン・ケーリーの定理より、
　　　　　　　　A²－(a+d)A+(ad－bc)E=O
　　　　　　⇔　A²=(a+d)A－(ad－bc)E=yA－E　････①

　　　A⁵=Eより、
　　　　　　　　A⁵=A(A²)²
　　　　　　　　　 =A(yA－E)²　　←①より
　　　　　　　　　 =A(y²A²－2yA+E)
　　　　　　　　　 =A{y²(yA－E)－2yA+E}　　←①より
　　　　　　　　　 =(y³－2y)A²+(－y²+1)A
　　　　　　　　　 =(y³－2y)(yA－E)+(－y²+1)A　　←①より
　　　　　　　　　 =(y⁴－3y³+1)A+(－y³+2y)E
　　　　　　　　　 =E
　　　　　　　⇔　(y⁴－3y³+1)A=(y³－2y+1)E　････②　

　　　(ⅰ) y⁴－3y³+1=0のとき
　　　　　　　②は、
　　　　　　　　　　O=(y³－2y+1)E
　　　　　　　となるので、
　　　　　　　　　　y³－2y+1=0 ．
　　　　　　　これらを同時に満たすyを求めると、
　　　　　　　　　　y⁴－3y³+1=(y⁴－2y³+1)－y²
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(y²－1)²－y²
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(y²－y－1)(y²+y－1)=0
　　　　　　　かつ、
　　　　　　　　　　y³－2y+1=(y－1)(y²+y－1)=0
　　　　　　　なので、
　　　　　　　　　　y²+y－1=0　⇔　y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$

　　　(ⅱ) y⁴－3y³+1≠0のとき
　　　　　　実数kを
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{y^3-2y+1}{y^4-3y^2+1}\end{align*}}$
　　　　　　とおくと、②より、A=kE となるので、
　　　　　　　　A⁵=E　⇔　(kE)⁵=k⁵E=E
　　　　　　　　　　　　　⇔　k=1 （∵kは実数）
　　　　　　このとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　となるので、
　　　　　　　　　　y=t(a)=1+1=2

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=1\ \ ,\ \ \\ y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\ ,\ 2\ }\end{align*}}$
　　　となる。



　　これもよくある問題ですので確実に！