2013東京工業大 数学１

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【解答】

　(１)
　　　まず、解と係数の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =3、　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =5　････①

　　　すべてのの正の整数nに対して
　　　　　　　「$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ+$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ－3ⁿが5の整数倍になる」････(※)
　　　ことを数学的帰納法で示す。
　　　(ⅰ)n=1、n=2のとき
　　　　　　　　①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ －3=3－3
　　　　　　　　　　　　　　=0
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²+$\scriptsize\sf{\beta}$ ²－3²=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )²－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ －3²
　　　　　　　　　　　　　　　　 =3²－2･5－3²
　　　　　　　　　　　　　　　　 =－10
　　　　　となるので、ともに(※)を満たす。

　　　(ⅱ)n=k、n=k+1で(※)が成り立つと仮定すると、
　　　　　整数A、Bを用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k－3^k=5A
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1－3^k+1=5B　････②
　　　　　と表すことができる。
　　　　　n=k+2のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+2+$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+2－3^k+2
　　　　　　　=($\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )－$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1$\scriptsize\sf{\beta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1－3^k+2
　　　　　　　=($\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )－$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k)－3^k+2
　　　　　　　=3(5A+3^k+1)－5(5B+3^k)－3^k+2　←①、②より
　　　　　　　=15A+9･3^k－25B－5･3^k－9･3^k
　　　　　　　=5(3A－5B－3^k)
　　　　　となり、3A－5B－3^kは整数なので(※)を満たす。

　　　以上より、
　　　　　任意のnに対して(※)は成り立つので、題意は示された。


　(２)
　　　目の出方の総数は 6⁶通りある。
　　　異なる記号は異なる数字を表すことにすると、
　　　題意を満たすような目の出方は、
　　　次のような2つのパターンが考えられる。

　　　(ア) ○○○□△☆ のパターン
　　　　　　　○の数字は6通り、
　　　　　　　□、△、☆の数字は₅C₃通りの選び方があり、
　　　　　　　これら6個の数字の並び方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{3!}\end{align*}}$ 通りある。

　　　(イ) ○○□□△☆ のパターン
　　　　　　　○、□の数字は₆C₂通り、
　　　　　　　△、☆の数字は₄C₂通りの選び方があり、
　　　　　　　これら6個の数字の並び方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{2!\ 2!}\end{align*}}$ 通りある。

　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6\cdot _5C_3\cdot\frac{6!}{3!}+_6C_2\cdot _4C_2\cdot\frac{6!}{2!\ 2!}}{6^6}=\underline{\ \frac{325}{648}\ }\end{align*}}$
　　　となる。



　　ここは確実に！