第1問
(1) 2次方程式x2-3x+5=0の2つの解$\small\sf{\alpha,\beta}$ に対し、$\small\sf{\sf \alpha^n+\beta^n-3^n}$ は
すべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。
(2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を
既約分数で表せ。
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【解答】
(1)
まず、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =3、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =5 ・・・・①
すべてのの正の整数nに対して
「$\scriptsize\sf{\alpha}$ n+$\scriptsize\sf{\beta}$ n-3nが5の整数倍になる」・・・・(※)
ことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1、n=2のとき
①より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ -3=3-3
=0
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2-32=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )2-2$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ -32
=32-2・5-32
=-10
となるので、ともに(※)を満たす。
(ⅱ)n=k、n=k+1で(※)が成り立つと仮定すると、
整数A、Bを用いて、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+$\scriptsize\sf{\beta}$ k-3k=5A
$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+1-3k+1=5B ・・・・②
と表すことができる。
n=k+2のとき、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+2+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+2-3k+2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+1)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )-$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1$\scriptsize\sf{\beta}$ -$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ k+1-3k+2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+1)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )-$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ k+$\scriptsize\sf{\beta}$ k)-3k+2
=3(5A+3k+1)-5(5B+3k)-3k+2 ←①、②より
=15A+9・3k-25B-5・3k-9・3k
=5(3A-5B-3k)
となり、3A-5B-3kは整数なので(※)を満たす。
以上より、
任意のnに対して(※)は成り立つので、題意は示された。
(2)
目の出方の総数は 66通りある。
異なる記号は異なる数字を表すことにすると、
題意を満たすような目の出方は、
次のような2つのパターンが考えられる。
(ア) ○○○□△☆ のパターン
○の数字は6通り、
□、△、☆の数字は5C3通りの選び方があり、
これら6個の数字の並び方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{3!}\end{align*}}$ 通りある。
(イ) ○○□□△☆ のパターン
○、□の数字は6C2通り、
△、☆の数字は4C2通りの選び方があり、
これら6個の数字の並び方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{2!\ 2!}\end{align*}}$ 通りある。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6\cdot _5C_3\cdot\frac{6!}{3!}+_6C_2\cdot _4C_2\cdot\frac{6!}{2!\ 2!}}{6^6}=\underline{\ \frac{325}{648}\ }\end{align*}}$
となる。
ここは確実に!
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/17(土) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2013
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