2013東京大 理系数学５

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【解答】

　(1)
　　　与式より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3+3yx^2\lt x^3+3yx^2+3y^2x+y^3-x-y\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<(3y^2-1)x+y^3-y\lt x^2\end{align*}}$ ．
　　　前の2項について、
　　　y≧1より、3y²－1＞0 かつ y³－y＞0となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<(3y^2-1)x+y^3-y\end{align*}}$
　　　は、任意の正の実数xに対して成り立つ。

　　　後ろの2項について、
　　　y≧1より、(3y²－1)²+4(y³－y)＞0となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-(3y^2-1)x-(y^3-y)>0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x<\frac{3y^2-1-\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\end{align*}}$　または
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\lt x\end{align*}}$
　　　となる。
　　　ここで、(3y²－1)²+4(y³－y)＞(3y²－1)²より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3y^2-1-\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}<0\end{align*}}$　かつ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、求める正数xの範囲は、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\lt x\ }\end{align*}}$
　　　である。


　(2)
　　　1が99個連続する99桁の数111･･･111 は3の倍数なので、
　　　これを自然数yを用いて3yとおく。
　　　すなわち、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3y=111\ldots 111\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =10^{98}+10^{97}+\ldots +10^2+10+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{10^{99}-1}{10-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{10^{99}-1}{27}\end{align*}}$ 　････①

　　　一方、nを自然数として、x=10ⁿとおく。
　　　十分に大きいnを考えると、①のyに対して(1)を満たすような
　　　xが存在する。
　　　これらのx、yに対して(x+y－1)(x+y)(x+y+1)は
　　　連続する3つの自然数の積となるので、これをAとおくと、
　　　(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+3yx^2\lt A\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{3n}+\frac{10^{99}-1}{9}\times 10^{n}\lt A<10^{3n}+\left(\frac{10^{99}-1}{9}+1\right)\times 10^{n}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{3n}+(111\ldots 111)\times 10^{n}\lt A<10^{3n}+(111\ldots 112)\times 10^{n}\end{align*}}$
　　　となり、Aの下からn+1桁目～n+100桁目に1が99個連続
　　　するので、条件(b)も満たすことになる。
　　　以上より、題意は示された。



　　yの取り方に気づけば大丈夫だと思います。