2013東京大 理系数学２

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【解答】

　　　y=f(x)とy=g(x)の2式を連立させると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\cos x}{x}=\sin x+ax\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\cos x-x\sin x}{x^2}=a\end{align*}}$
　　　となり、xの関数h(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{\cos x-x\sin x}{x^2}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
　　　とおくと、題意を満たすためには、y=h(x)のグラフと
　　　直線y=aの共有点がちょうど3個になればよい。
　　　h(x)の導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\frac{(-\sin x-\sin x-x\cos x)x^2-(\cos x-x\sin x)\cdot 2x}{x^4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{(x^2+2)\ \cos x}{x^3}\end{align*}}$
　　　となるので、増減は次のようになる。

　　　　　

　　　よって、h(x)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2n-1}{2}\pi\ \ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
　　　で極値をとり、その絶対値は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|h\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)\right|=\left|-\frac{2}{(2n-1)\pi}\sin\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)\right|=\frac{2}{(2n-1)\pi}\end{align*}}$
　　　となるので、単調に減少する。
　　　よって、下図より、題意を満たすようなaの値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-\frac{2}{5\pi}\ \ ,\ \ \frac{2}{7\pi}\lt a<\frac{2}{3\pi}\ }\end{align*}}$
　　　である。

　　　　　　　　



　　これは比較的取っつきやすいと思いますよ。まぁ確実に！