2013東京大 理系数学１

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【解答】

　　　(a，b)=(0，0)のときは、
　　　　　　　　P₁=P₂=(0，0)
　　　となり、条件(ⅱ)に反するので、(a，b)≠(0，0)である。
　　　与えられた漸化式は、行列を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_{n+1}\ ,y_{n+1})=(ax_n-by_n\ ,\ bx_n+ay_n)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\underline{\begin{pmatrix} \sf a&\sf -b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}}\binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$　････①
　　　と表すことができる。
　　　下線部の行列をAとおくと、(a，b)≠(0，0)より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\sqrt{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&\sf -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sf \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　と変形できる。ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a^2+b^2}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{a}{r}\ \ ,\ \ \sin\theta=\frac{b}{r}\end{align*}}$　････②
　　　となるような$\scriptsize\sf{\theta}$ （－$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）が存在するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=r\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$ は、原点中心として$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転する
　　　移動を表すので、nを自然数とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=r^n\begin{pmatrix} \sf \cos n\theta&\sf -\sin n\theta \\ \sf \sin n\theta & \sf \cos n\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$　････③
　　　となる。
　　　よって、点P_nの座標は①より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A^2\binom{x_{n-2}}{y_{n-2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A^3\binom{x_{n-3}}{y_{n-3}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A^n\binom{x_0}{y_0}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^n\begin{pmatrix} \sf \cos n\theta&\sf -\sin n\theta \\ \sf \sin n\theta & \sf \cos n\theta \end{pmatrix}\binom{1}{0}\end{align*}}$　←③より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{r^n\cos n\theta}{r^n\sin n\theta}\end{align*}}$
　　　となり、条件(ⅰ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_6=P_0\ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{r^6\cos 6\theta}{r^6\sin 6\theta}=\binom{1}{0}\end{align*}}$ ．
　　　成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^6=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r=1\ \ (>0)\end{align*}}$ かつ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6\theta=2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{k\pi}{3}\end{align*}}$　　（kは整数）
　　　となり、－$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=0\ ,\ \pm\frac{\pi}{3}\ ,\ \pm\frac{2\pi}{3}\ ,\ \pi\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \theta=0\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{\cos 0}{\sin 0}=\binom{1}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ P_1=P_0\end{align*}}$
　　　　　　となるので条件(ⅱ)に反する。

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \theta=\pi\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_2}{y_2}=\binom{\cos 2\pi}{\sin 2\pi}=\binom{1}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ P_2=P_0\end{align*}}$
　　　　　　となるので条件(ⅱ)に反する。

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \theta=\pm\frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_3}{y_3}=\binom{\cos(\pm 2\pi)}{\sin(\pm 2\pi)}=\binom{1}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ P_3=P_0\end{align*}}$
　　　　　　となるので条件(ⅱ)に反する。（複号は同順）

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \theta=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_2}{y_2}=\binom{\cos\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{1}{2}\binom{-1}{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_3}{y_3}=\binom{\cos\pi}{\sin\pi}=\binom{-1}{0}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_4}{y_4}=\binom{\cos\frac{4\pi}{3}}{\sin\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_5}{y_5}=\binom{\cos\frac{5\pi}{3}}{\sin\frac{5\pi}{3}}=\frac{1}{2}\binom{1}{-\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　となり、点P₀～P₅はすべて異なるので、題意を満たす。

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (v)\ \theta=-\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　(ⅳ)と同様に計算すると、点P₀～P₅は順に、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\ ,\ \frac{1}{2}\binom{1}{-\sqrt3}\ ,\ -\frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\ ,\ \binom{-1}{0}\ ,\ \frac{1}{2}\binom{-1}{\sqrt3}\ ,\ \frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　となり、これらはすべて異なるので、題意を満たす。


　　　以上より、求める(a，b)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a\ ,\ b)=\left(\cos\frac{\pm\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{\pm\pi}{3}\right)=\underline{\ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \pm\frac{\sqrt3}{2}\right)\ }\end{align*}}$　（複号は同順）



　　回転移動に気づくかが勝負です！