第3問
A、Bの2人がいる。投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の
操作を繰り返す。
(ⅰ)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
Aに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、
両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ⅱ)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
Bに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、
両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そして、A、Bいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した
方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、
この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1) A、Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利と
なる確率p(n)を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ p(n)\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
Aが勝利するまでのn回のうち、A、Bがコインを投げた回数を
それぞれa、bとすると、
a+b=n ････①
である。
(ⅰ)Bが0点ままAが勝利する場合
Aの方がBより2回多く投げたことになるので、
a－b=2 ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+2}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-2}{2}\end{align*}}$ ････②
となり、a、bともに整数なので、nは偶数である。
Aが投げたa回のうち、a回目は表であり、
1～a－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
一方、Bは投げたb回すべてが裏なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
である。よって、求める確率p(n)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+2}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$ ←①より
(ⅱ)Bが1点取ってAが勝利する場合
Aの方がBより1回多く投げたことになるので、
a－b=1 ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-1}{2}\end{align*}}$ ････③
となり、a、bともに整数なので、nは奇数である。
Aについては(ⅰ)と同様。
一方、Bが投げたb回のうち、b回目は裏であり、
1～b－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
である。よって、求める確率p(n)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-1)(b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+1}{2}-1\right)\left(\frac{n-1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ←①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$
以上より、
nが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
nが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
となる。
(2)
mを自然数とすると、(1)より、
n=2mのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(2m)=\frac{2m}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2m}=m\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$
n=2m－1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(2m-1)=\frac{(2m-2)(2m-4)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2m-1}=2(m-1)(m-2)\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$ ．
部分和Snを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^np(k)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{2m}=\sum_{k=1}^{m}\left\{p(2k-1)+p(2k)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m}\left\{2(k-1)(k-2)\left(\frac{1}{4}\right)^k+k\left(\frac{1}{4}\right)^k\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k-5\sum_{k=1}^{m}k\left(\frac{1}{4}\right)^k+2\sum_{k=1}^{m}k^2\left(\frac{1}{4}\right)^k\end{align*}}$ ．
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_m=\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k\ \ ,\ \ B_m=\sum_{k=1}^{m}k\left(\frac{1}{4}\right)^k\ \ ,\ \ C_m=\sum_{k=1}^{m}k^2\left(\frac{1}{4}\right)^k\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{2m}=4A_m-5B_m+2C_m\end{align*}}$ ････①
と表せる。
無限等比級数Amの公比は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････②
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_m=1\cdot\frac{1}{4}+2\left(\frac{1}{4}\right)^2+3\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +m\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$
の両辺に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}B_m=1\left(\frac{1}{4}\right)^2+2\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +(m-1)\left(\frac{1}{4}\right)^m+m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
となり、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}B_m=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +\left(\frac{1}{4}\right)^m-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A_m-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ B_m=\frac{4}{3}\left\{A_m-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\right\}\end{align*}}$ ････③
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}=0\end{align*}}$
であり、これと②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ B_m=\frac{4}{3}\lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m=\frac{4}{9}\end{align*}}$ ････④
さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_m=1^2\cdot\frac{1}{4}+2^2\left(\frac{1}{4}\right)^2+3^2\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +m^2\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$
の両辺に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}C_m=1^2\left(\frac{1}{4}\right)^2+2^2\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +(m-1)^2\left(\frac{1}{4}\right)^m+m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
となり、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}C_m=\frac{1}{4}+3\left(\frac{1}{4}\right)^2+5\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +(2m-1)\left(\frac{1}{4}\right)^m-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^m(2k-1)\left(\frac{1}{4}\right)^k-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sum_{k=1}^mk\left(\frac{1}{4}\right)^k-\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2B_m-A_m-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ C_m=\frac{4}{3}\left\{2B_m-A_m-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\right\}\end{align*}}$ ････⑤
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}=0\end{align*}}$
であり、これと②、④、⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ C_m=\frac{8}{3}\lim_{m\rightarrow\infty}\ B_m-\frac{4}{3}\lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m=\frac{20}{27}\end{align*}}$ ････⑥
①、②、④、⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ S_{2m}=4\lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m-5\lim_{m\rightarrow\infty}\ B_m+2\lim_{m\rightarrow\infty}\ C_m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\cdot\frac{1}{3}-5\cdot\frac{4}{9}+2\cdot\frac{20}{27}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16}{27}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ S_{2m-1}=\lim_{m\rightarrow\infty}\ \left\{S_{2m}-p(2m)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{m\rightarrow\infty}\ \left\{S_{2m}-m\left(\frac{1}{4}\right)^m\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{m\rightarrow\infty}\ S_{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16}{27}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ p(n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\underline{\ \frac{16}{27}\ }\end{align*}}$
となる。
厳密には
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{m\rightarrow\infty}m\left(\frac{1}{4}\right)^m=0\ \ ,\ \ \lim_{m\rightarrow\infty}m^2\left(\frac{1}{4}\right)^m=0}\end{align*}}$
の証明も必要なんでしょうけどね・・・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/21(水) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2013
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