2013東京大 理系数学４

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【解答】

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\frac{\overrightarrow{\sf PA}}{|\overrightarrow{\sf PA}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\frac{\overrightarrow{\sf PB}}{|\overrightarrow{\sf PB}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\frac{\overrightarrow{\sf PC}}{|\overrightarrow{\sf PC}|}\end{align*}}$
　　　とおくと、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$　････①　　かつ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$　････②

　　　②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2=|-\overrightarrow{\sf c}|\ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf a}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2=|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
　　　となり、これに①を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$　････③
　　　∠APBは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ のなす角に等しいので、①、③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle APB=\frac{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf a}|\ |\overrightarrow{\sf b}|}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　となり、0°＜∠APB＜180°なので、
　　　　　　　　∠APB=120°．
　　　∠APCについても同様に計算すると、
　　　　　　　　∠APC=120°
　　　となる。


　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=|\overrightarrow{\sf PA}|\ \ ,\ \ y=|\overrightarrow{\sf PB}|\ \ ,\ \ z=|\overrightarrow{\sf PC}|\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　△PABにおいて、余弦定理より、
　　　　　　　　PA²+PB²－2PA･PB=AB²
　　　　　　⇔　x²+y²+xy=1　････④
　　　△ABCにおいて、三平方の定理より BC=2なので、
　　　△PBC、△PCAに対しても同様に余弦定理を適用すると、
　　　　　　　　y²+z²+yz=4　････⑤
　　　　　　　　z²+x²+zx=3　････⑥
　　　④と⑤の差をとると、
　　　　　　　　z²－x²+yz－xy=3
　　　　　　⇔　(z－x)(z+x)+y(z+x)=3
　　　　　　⇔　(z－x)(x+y+z)=3　････⑦
　　　同様に⑤と⑥の差をとると、
　　　　　　　　(y－x)(x+y+z)=1　････⑧
　　　となり、⑦、⑧より
　　　　　　　　z－x=3(y－x)　⇔　z=3y－2x　････⑨
　　　⑨を⑦に代入すると、
　　　　　　　　3(y－x){x+y+(3y－2x)}=3
　　　　　　⇔　x²+4y²－5xy=1
　　　となり、これと④の差をとると、
　　　　　　　　3y²－6xy=3y(y－2x)=0
　　　　　　⇔　y=2x　（∵y≠0）････⑩
　　　④に代入して
　　　　　　　　x²+(2x)²+x･2x=1
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{\sqrt7}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　⑩、⑨より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{\sqrt7}\ \ ,\ \ z=3\cdot\frac{2}{\sqrt7}-2\cdot\frac{1}{\sqrt7}=\frac{4}{\sqrt7}\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf PA}|=\frac{1}{\sqrt7}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf PB}|=\frac{2}{\sqrt7}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf PC}|=\frac{4}{\sqrt7}\ }\end{align*}}$




　　途中式を丁寧に書きすぎたので、少しグチャグチャになってしまいましたね・・・　
　　まぁ簡単に言えば、余弦定理④、⑤、⑥を連立させて解くだけです。