2013東京大 文系数学４

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【解答】

　　　Aが勝利するまでのn回のうち、A、Bがコインを投げた回数を
　　　それぞれa、bとすると、
　　　　　　　　　　a+b=n　････①
　　　である。
　　
　　　(ⅰ)Bが0点ままAが勝利する場合
　　　　　　Aの方がBより2回多く投げたことになるので、　
　　　　　　　　　　a－b=2 ．
　　　　　　これと①より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+2}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-2}{2}\end{align*}}$　････②
　　　　　　となり、a、bともに整数なので、nは偶数である。
　　　　　　Aが投げたa回のうち、a回目は表であり、
　　　　　　1～a－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
　　　　　　その確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　　　　一方、Bは投げたb回すべてが裏なので、その確率は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
　　　　　　である。よって、求める確率p(n)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+2}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$　←②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$　←①より

　　　(ⅱ)Bが1点取ってAが勝利する場合
　　　　　　Aの方がBより1回多く投げたことになるので、　
　　　　　　　　　　a－b=1 ．
　　　　　　これと①より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-1}{2}\end{align*}}$　････③
　　　　　　となり、a、bともに整数なので、nは奇数である。
　　　　　　Aについては(ⅰ)と同様。
　　　　　　一方、Bが投げたb回のうち、b回目は裏であり、
　　　　　　1～b－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
　　　　　　その確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　　　　である。よって、求める確率p(n)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-1)(b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+1}{2}-1\right)\left(\frac{n-1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$　←①、③より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　nが偶数のとき
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
　　　　　nが奇数のとき
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
　　　となる。




　　理系と共通問題です。これは難しいと思いますよ。