2013東京大 文系数学２

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【解答】

　(1)
　　　与えられた座標より　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PA-AQ=\sqrt{a^2\left(\sqrt{a^2+1}+\sqrt2\right)^2}-\sqrt{a^2+\left(\sqrt{a^2+1}-\sqrt2\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{(2a^2+3)+2\sqrt{2a^2+2}}-\sqrt{(2a^2+3)-2\sqrt{2a^2+2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt{2a^2+2}+1\right)-\left|\sqrt{2a^2+2}-1\right|\end{align*}}$ ．
　　　ここで、0≦a≦1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq 2a^2+2\leqq 4\ \ \Leftrightarrow\ \ 1<\sqrt2\leqq \sqrt{2a^2+2}\leqq 2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PA-AQ=\left(\sqrt{2a^2+2}+1\right)-\left(\sqrt{2a^2+2}-1\right)=2\end{align*}}$ ．
　　　以上より、差PA－AQはaの値によらず一定値2をとる。


　(2)
　　　a=0のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A(0\ ,\ 1)\ ,\ B(0\ ,\ 0)\end{align*}}$
　　　a=1のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A(1\ ,\ \sqrt2)\ ,\ B(2\sqrt2\ ,\ \sqrt2)\end{align*}}$
　　　となるので、点Bの座標を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(t\ ,\ \frac{\sqrt2}{8}t^2\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{\sqrt2}{8}t^2\leqq \sqrt2<2\end{align*}}$　････①
　　　となる。
　　　(1)より、
　　　　　　　　PA=AQ+2
　　　なので、求める和をSとおくと、
　　　　　　　　S=PA+AB+BC
　　　　　　　　　=(AQ+2)+AB+BC
　　　　　　　　　=QB+BC+2
　　　と変形できる。
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sqrt{t^2+\left(\frac{\sqrt2}{8}t^2-\sqrt2\right)^2}+\left|2-\frac{\sqrt2}{8}t^2\right|+2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{1}{32}t^4+\frac{1}{2}t^2+2}+\left(2-\frac{\sqrt2}{8}t^2\right)+2\end{align*}}$　←①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{\sqrt2}{8}t^2+\sqrt2\right)^2}+4-\frac{\sqrt2}{8}t^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\sqrt2}{8}t^2+\sqrt2\right)+4-\frac{\sqrt2}{8}t^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2+4\end{align*}}$ ．

　　　以上より、和PA+AB+BCはaの値によらず一定値$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2+4\end{align*}}$ をとる。



　　絶対値の処理にさえ気をつければ、とくに問題ないと思います。