2013東京大 文系数学１

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【解答】

　　　CとL：y=txの2式を連立させると、
　　　　　　　　x(x－1)(x－3)=tx
　　　　　　⇔　x(x²－4x+3－t)=0
　　　となり、方程式
　　　　　　　　x²－4x+3－t=0　････①
　　　が実数解を持つための条件は、判別式を考えると、
　　　　　　　　D/4=2²－(3－t)≧0
　　　　　　⇔　t≧－1
　　　である。
　　　このとき、①の2解をp、qとおくと、共有点P、Qの座標は、
　　　　　　　　P(p，tp)、 Q(q，tq)
　　　と表すことができる。
　　　また、解と係数の関係より、
　　　　　　　　p+q=4、　pq=3－t　････②
　　　となる。
　　　これらより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=|\overrightarrow{\sf OP}||\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{p^2+(tp)^2}\sqrt{q^2+(tq)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{p^2q^2(1+t^2)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|pq|(1+t^2)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|3-t|(1+t^2)\end{align*}}$　←②より

　　　(ⅰ) t≧3のとき
　　　　　　　　g(t)=(－3+t)(1+t²)
　　　　　　　　　　 =t³－3t²+t－3
　　　　　　　　g’(t)=3t²－6t+1
　　　　　　　　　　　 =3(t－1)²－2＞0　（∵t≧3)
　　　(ⅱ) －1≦t＜3のとき
　　　　　　　　g(t)=－t³+3t²－t+3
　　　　　　　　g’(t)=－3t²+6t－1
　　　　　　となり、g’(t)=0となるのは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3\pm\sqrt6}{2}\end{align*}}$
　　　　　　のときであり、これらはともに－1≦t＜3を満たす。

　　　これらより、－1≦tにおける g(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　ここで、筆算を用いてg(t)をg’(t)で割ると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=g\ '(t)\ \left(\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}t+\frac{8}{3}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\frac{3\pm\sqrt6}{2}\right)=\frac{4}{3}\cdot\frac{3\pm\sqrt6}{2}+\frac{8}{3}=4\pm\frac{4\sqrt6}{9}\end{align*}}$　（複号同順）
　　　となる。
　　　以上より、関数g(t)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3-\sqrt6}{2}\end{align*}}$ で極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4-\frac{4\sqrt6}{9}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3+\sqrt6}{2}\end{align*}}$ で極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4+\frac{4\sqrt6}{9}\end{align*}}$
　　　　　　　　t=3 で極小値 0
　　　をとる。


　　場合分けに気づきさえすれば、特に問題ないですね。