2013千葉大 数学６

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【解答】

　(１)
　　　二乗定数の定義より、　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{n+k+1}C_{k+1}\times\left(\frac{1}{_{n+k}C_k}-\frac{1}{_{n+k+1}C_k}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n+k+1)!}{(k+1)!\ n!}\times\left\{\frac{k!\ n!}{(n+k)!}-\frac{k!\ (n+1)!}{(n+k+1)!}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n+k+1}{k+1}-\frac{n+1}{k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k}{k+1}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　この結果はnによらない値になるので、題意は示された。

　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{n+k+1}C_{k+1}}=\frac{k+1}{k}\left(\frac{1}{_{n+k}C_k}-\frac{1}{_{n+k+1}C_k}\right)\end{align*}}$
　　　となり、k＝2を代入すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{n+3}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{n+2}C_2}-\frac{1}{_{n+3}C_2}\right)\end{align*}}$ ．
　　　これは任意のn（=0，1，2，･･･）に対して成り立つので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{3}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{2}C_2}-\frac{1}{_{3}C_2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{4}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{3}C_2}-\frac{1}{_{4}C_2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{5}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{4}C_2}-\frac{1}{_{5}C_2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{m}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{m-1}C_2}-\frac{1}{_{m}C_2}\right)\end{align*}}$ ．
　　　これらを辺々加えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_3C_3}+\frac{1}{_4C_3}+\frac{1}{_5C_3}+\ldots +\frac{1}{_mC_3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{2}C_2}-\frac{1}{_{3}C_2}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{3}C_2}-\frac{1}{_{4}C_2}\right)+\ldots +\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{m-1}C_2}-\frac{1}{_{m}C_2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{2}C_2}-\frac{1}{_{m}C_2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left\{\frac{2!\ 0!}{2!}-\frac{2!\ (m-2)!}{m!}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left\{1-\frac{2}{m(m-1)}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\cdot\frac{m(m-1)-2}{m(m-1)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3(m+1)(m-2)}{2m(m-1)}\ }\end{align*}}$ ．



　　(１)の結果をうまく使いましょう。