2013千葉大 数学５

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【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x^2}{4}\right)'=\frac{x}{2}\end{align*}}$　
　　　なので、Aにおける接線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_A:\ y-\frac{a^2}{4}=\frac{a}{2}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$ ．
　　　同様に、Bにおける接線は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_B:\ y=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
　　　となり、これらが直交するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=-\frac{4}{a}\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　L_AとL_Bの２式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4}=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a-b)x=a^2-b^2\end{align*}}$ ．
　　　a≠bより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a^2-b^2}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\end{align*}}$　　←(１)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a}{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)-\frac{a^2}{4}=-1\end{align*}}$
　　　となるので、L_AとL_Bの交点Pの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\ ,\ -1\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。

　　　一方、L_A⊥n_AかつL_A⊥L_Bより、n_AとL_Bは平行になるので、
　　　Aにおける法線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n_A:\ y-\frac{a^2}{4}=\frac{b}{2}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{b}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　同様に、Bにおける法線は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n_B:\ y=\frac{a}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
　　　なので、これらの2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{a^2}{4}=\frac{a}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a-b)x=a^2-b^2\end{align*}}$ ．
　　　Pと同様に計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{b}{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)-\frac{ab}{2}+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{a}\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)-\frac{a}{2}\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$　←(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{4}+1+\frac{4}{a^2}\end{align*}}$
　　　となるので、n_Aとn_Bの交点Qの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\ ,\ \frac{a^2}{4}+1+\frac{4}{a^2}\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。


　(３)
　　　(２)より、PとQのx座標は等しいので、PQはy軸と平行になる。
　　　よって、△APQにおいて、PQを底辺としたときの高さhは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=a-\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\left(\frac{a^2}{4}+1+\frac{4}{a^2}\right)-(-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{4}+2+\frac{4}{a^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)^2\end{align*}}$　
　　　となるので、長方形AQBPの面積をSとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\triangle APQ\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =PQ\cdot h\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)^3\end{align*}}$ ．
　　　ここでa＞0なので、相加･相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}+\frac{2}{a}\geqq 2\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{2}{a}}=2\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\geqq 2^3=8\end{align*}}$ ．
　　　等号が成立するのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}=\frac{2}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　以上より、a＝2のとき、Sは最小値8をとる。



　　(３)で用いた
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}+2+\frac{4}{a^2}=\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)^2\end{align*}}$　
　　の変形に気づきますかね？？