2013千葉大 数学10

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【解答】

　　　t＝tan10°とおくと、tanの加法定理より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 20^{\circ}=\tan (30^{\circ}-10^{\circ})\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan 30^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{1+\tan 30^{\circ}\tan 10^{\circ}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{1}{\sqrt3}-t}{1+\frac{1}{\sqrt3}\ t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\sqrt3\ t}{\sqrt3+t}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 40^{\circ}=\tan (30^{\circ}+10^{\circ})\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan 30^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 30^{\circ}\tan 10^{\circ}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{1}{\sqrt3}+t}{1-\frac{1}{\sqrt3}\ t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+\sqrt3\ t}{\sqrt3-t}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan30^{\circ}=\tan(20^{\circ}+10^{\circ})\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 20^{\circ}\tan 10^{\circ}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{2t}{1-t^2}+t}{1-\frac{2t}{1-t^2}\cdot t}\end{align*}}$　←tanの倍角公式
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2t+t(1-t^2)}{(1-t^2)-2t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}\end{align*}}$
　　　これらより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 20^{\circ}\cdot\tan 30^{\circ}\cdot\tan 40^{\circ}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\sqrt3\ t}{\sqrt3+t}\cdot\frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}\cdot\frac{1+\sqrt3\ t}{\sqrt3-t}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-3t^2}{3-t^2}\cdot\frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\tan 10^{\circ}\end{align*}}$
　　　となるので、題意は示された。



　　これまた問題はシンプルなんですけどね、これも意外と手こずると思います。