2013千葉大 数学９

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【解答】

　　　筆算を用いて(m⁴＋14m²)÷(2m＋1)　を計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m^4+14m^2=\left(2m+1\right)\left(\frac{1}{2}m^3-\frac{1}{4}m^2+\frac{57}{8}m-\frac{57}{16}\right)+\frac{57}{16}\end{align*}}$
　　　となり、両辺に16をかけると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16(m^4+14m^2)=(2m+1)(8m^3-4m^2+114m-57)+57\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{57}{2m+1}=\frac{16(m^4+14m^2)}{2m+1}+(8m^3-4m^2+114m-57)\end{align*}}$　････①
　　　題意より、m⁴＋14m²は2m＋1の整数倍(k倍とする)なので、
　　　①は、　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{57}{2m+1}=16k+(8m^3-4m^2+114m-57)\end{align*}}$
　　　と変形できる。この式において、右辺は整数であり、、
　　　左辺も整数である必要があるので、
　　　2m＋1は57の約数である必要がある。
　　　すなわち、
　　　　　　　　2m＋1＝－57，－19，－3，－1，1，3，19，57
　　　　　　⇔　m＝－29，－10，－2，－1，0，1，9，28 ．
　　　これらのそれぞれに対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{m^4-14m^2}{2m+1}=\frac{m^2(m^2+14)}{2m+1}\end{align*}}$
　　　の値を計算すると、
　　　　　(ア)m＝－29のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{29^2\cdot 855}{-57}=-29^2\cdot 15\end{align*}}$
　　　　　(イ)m＝－10のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{10^2\cdot 114}{-19}=-600\end{align*}}$
　　　　　(ウ)m＝－2のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{2^2\cdot 18}{-3}=-24\end{align*}}$
　　　　　(エ)m＝－1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1\cdot 15}{-1}=-15\end{align*}}$
　　　　　(オ)m＝0のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{0\cdot 14}{1}=0\end{align*}}$
　　　　　(カ)m＝1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1\cdot 15}{3}=5\end{align*}}$
　　　　　(キ)m＝9のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{9^2\cdot 95}{19}=81\cdot 5\end{align*}}$
　　　　　(ク)m＝28のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{28^2\cdot 15}{57}=28^2\cdot 14\end{align*}}$
　　　となり、いずれの場合もkは整数となる。
　　　よって、条件を満たすmの値は、
　　　　　　　　m＝－29，－10，－2，－1，0，1，9，28
　　　である。



　　問題文はシンプルですが、難しいと思いますよ。