2013千葉大 数学７

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【解答】

　　　２式を連立させると、　
　　　　　　　　ax＝xlog(x＋1)
　　　　　　⇔　x＝0　または　log(x＋1)＝a
　　　　　　⇔　x＝0，e^a－1

　　　(ⅰ) e^a－1＞0 すなわち a＞0のとき
　　　　　　　0≦x≦e^a－1 の範囲において、
　　　　　　　　　0≦log(x＋1)≦loge^a＝a
　　　　　　　⇔　0≦xlog(x＋1)≦ax
　　　　　　となるので、求める面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{e^a-1}\left\{ax-x\log(x+1)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{a}{2}\ x^2\right]_0^{e^a-1}-\left[\frac{1}{2}x^2\log(x+1)\right]_0^{e^a-1}+\frac{1}{2}\int_0^{e^a-1}x^2\cdot\frac{dx}{x+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{2}(e^a-1)^2-\frac{a}{2}(e^a-1)^2+\frac{1}{2}\int_0^{e^a-1}\frac{(x^2-1)+1}{x+1}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{e^a-1}\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2-x+\log(x+1)\right]_0^{e^a-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(e^a-1)^2-\frac{1}{2}(e^a-1)+\frac{1}{2}\log e^a-\frac{1}{2}\log 1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}e^{2a}-\frac{1}{2}e^a+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}e^a+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}e^{2a}-e^a+\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}a\ }\end{align*}}$

　　　(ⅱ) e^a－1＜0 すなわち a＜0のとき
　　　　　　　e^a－1≦x≦0 の範囲において、
　　　　　　　　　0≧log(x＋1)≧loge^a＝a
　　　　　　　⇔　0≦xlog(x＋1)≦ax　　（∵x≦0）
　　　　　 となるので、(ⅰ)と同様に計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{e^a-1}^0\left\{ax-x\log(x+1)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{4}e^{2a}+e^a-\frac{1}{2}a-\frac{3}{4}a\ }\end{align*}}$




　　図を描くと次のようになります。