2013千葉大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　△ABDで余弦定理を用いると、　
　　　　　　　　AD²＝BA²＋BD²－2BA･BD･cos∠ABD
　　　　　　　　　　 ＝3²＋1²－2･3･1･cos60°
　　　　　　　　　　 ＝7
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ AD=\sqrt7\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　△CDEおよび△CAEで余弦定理を用いると、　
　　　　　　　　DE²＝CD²＋CE²－2CD･CE･cos∠DCE
　　　　　　　　　　　＝2²＋t²－2･2･t･cos60°
　　　　　　　　　　　＝t²－2t＋4
　　　　　　　　AE²＝CA²＋CE²－2CA･CE･cos∠ACE
　　　　　　　　　　　＝3²＋t²－2･3･t･cos60°
　　　　　　　　　　　＝t²－3t＋9
　　　さらに、△ADEで余弦定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle DAE=\frac{AD^2+AE^2-DE^2}{2AD\cdot AE}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7+(t^2-3t+9)-(t^2-2t+4)}{2\sqrt7\ \sqrt{t^2-3t+9}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{-t+12}{2\sqrt{7(t^2-3t+9)}}\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　△ADEにおいて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\angle DAE=\sqrt{1-\cos^2\angle DAE}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1-\left(\frac{-t+12}{2\sqrt{7(t^2-3t+9)}}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{28(t^2-3t+9)-(-t+12)^2}{7(t^2-3t+9)}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{27t^2-60t+108}{7(t^2-3t+9)}}\end{align*}}$
　　　なので、面積をSとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\ AD\cdot AE\cdot \sin\angle DAE\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot \sqrt7 \cdot \sqrt{t^2-3t+9}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{27t^2-60t+108}{7(t^2-3t+9)}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{27t^2-60t+108}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{27\left(t-\frac{10}{9}\right)^2+\frac{224}{3}}\end{align*}}$ ．
　　　0≦t≦3より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{10}{9}\ }\end{align*}}$
　　　のときSは最小となり、その値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{224}{3}}=\underline{\ \sqrt{\frac{14}{3}}\ }\end{align*}}$
　　　である。



　　余弦定理４連発です！