2013千葉大 数学１

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【解答】

　　　与式は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left|\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}-5\right|\end{align*}}$
　　　と変形できるので、グラフは次のようになる。
　　　
　　　　　　　

　(１)
　　　共有点が3個になるのは、(ⅰ)の場合において
　　　直線y＝bが点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a}{2}\ ,\ -\frac{a^2}{4}+5\right)\end{align*}}$ を通るときなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{a^2}{4}+5\end{align*}}$　････①
　　　a、bは自然数なので、a²は4の倍数、
　　　すなわちaは偶数である。
　　　また、b＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+5>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a<2\sqrt5\end{align*}}$
　　　　　　 　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\ ,\ 4\end{align*}}$ ．
　　　これと①より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (a\ ,\ b)=(2\ ,\ 4)\ ,\ (4\ ,\ 1)\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(２)
　　　共有点が1個になるのは、(ⅱ)の場合において
　　　直線y＝bが点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a}{2}\ ,\ \frac{a^2}{4}-5\right)\end{align*}}$ を通るときなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{a^2}{4}-5\end{align*}}$　････②
　　　(１)と同様、aは偶数であり、b＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}-5>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt5\lt a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=6\ ,\ 8\ ,\ 10\ ,\ \ldots\end{align*}}$
　　　となる。このうちでbが最小になるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (a\ ,\ b)=(6\ ,\ 4)\ }\end{align*}}$
　　　のときである。




　　グラフの概形さえ分かれば問題ないと思います。