2013千葉大 数学２

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【解答】

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}+\frac{31}{b}\end{align*}}$ の値をn（自然数）とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}+\frac{31}{b}=n\ \ \Leftrightarrow\ \ ab+27\cdot 31=27bn\end{align*}}$ 　　　
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab=27(bn-31)\end{align*}}$　････①
　　　題意よりaと27は互いに素なので、bは27の倍数となる。
　　　0＜b≦100より、b＝27，54，81となり、
　　　いずれも31と互いに素なので題意を満たす。
　　　　　　
　　　(ⅰ) b＝27のとき
　　　　　　nは自然数なので、①より
　　　　　　　　　　　27a＝27(27n－31)
　　　　　　　　　⇔　a＝27n－31＝－4，23，50，77，104，････
　　　　　　となり、0＜a≦100より
　　　　　　　　(a，b)＝(23，27)、(50，27)、(77，27)

　　　(ⅱ) b＝54のとき
　　　　　　①より
　　　　　　　　　　　54a＝27(54n－31)
　　　　　　　　　⇔　2a＝54n－31
　　　　　　　　　⇔　31＝2(27n－a)
　　　　　　となるが、左辺は奇数、右辺は偶数となるので不適。

　　　(ⅲ) b＝81のとき
　　　　　　①より
　　　　　　　　　　　81a＝27(81n－31)
　　　　　　　　　⇔　3a＝81n－31
　　　　　　　　　⇔　31＝3(27n－a)
　　　　　　となるが、右辺のみが３の倍数となるので不適。

　　　以上より、条件を満たす(a，b)の組は、
　　　　　　　　(a，b)＝(23，27)、(50，27)、(77，27)
　　　である。


　　文系にすれば少し難しいかもしれませんね。