2013筑波大 数学４

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【解答】

　(１)
　　　与えられた3式を辺々加えると、
　　　　　　　　a_n+1＋b_n+1＋c_n+1＝－2(a_n＋b_n＋c_n)
　　　　　　⇔　p_n+1＝－2p_n
　　　となるので、
　　　数列{p_n}は、初項p₁＝a＋b＋c、公比－2の等比数列となる。
　　　{p_n}の一般項は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=(a+b+c)(-2)^{n-1}\end{align*}}$　････①
　　　であり、初項から第n項までの和S_nは、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=(a+b+c)\cdot\frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}(a+b+c)\left\{1-(-2)^n\right\} }\end{align*}}$
　　　となる。

　(２)
　　　題意より
　　　　　　　p_n＝a_n＋b_n＋c_n　⇔　(－b_n－c_n)－a_n＝－p_n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　a_n+1－a_n＝－p_n
　　　となるので、{－p_n}は{a_n}の階差数列となる。
　　　よって、n≧2のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(-p_k)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a-S_{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ a-\frac{1}{3}(a+b+c)\left\{1-(-2)^{n-1}\right\}\ }\end{align*}}$
　　　となり、これはn＝1のときも満たす。
　　　同様に考えると、
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\underline{\ b-\frac{1}{3}(a+b+c)\left\{1-(-2)^{n-1}\right\}\ }\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\underline{\ c-\frac{1}{3}(a+b+c)\left\{1-(-2)^{n-1}\right\}\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(３)
　　　(ⅰ) n＝1のとき
　　　　　　　　q₁＝－(a²＋b²＋c²)
　　　　　　　　q₂＝(a₂)²＋(b₂)²＋(c₂)²
　　　　　　　　　 ＝(－b－c)²＋(－c－a)²＋(－a－b)²
　　　　　　　　　 ＝2(a²＋b²＋c²＋ab＋bc＋ca)
　　　　　 なので、
　　　　　　　　T₁＝q₁＋q₂
　　　　　　　　　 ＝－(a²＋b²＋c²)＋2(a²＋b²＋c²＋ab＋bc＋ca)
　　　　　　　　　 ＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca
　　　　　　　　　 ＝(a＋b＋c)²
　　　　　　となり、a＋b＋cは奇数なので、T₁も正の奇数である。

　　　(ⅱ) T_kが正の奇数であると仮定する。
　　　　　　　　T_k+1＝T_k＋q_2k+1＋q_2k+2
　　　　　 であり、
　　　　　　　　　　A＝a_2k+1、B＝b_2k+1、C＝c_2k+1
　　　　　 とおくと、
　　　　　　　　q_2k+1＝(－1)^2k+1(A²＋B²＋C²)
　　　　　　　　　　　　＝－(A²＋B²＋C²)
　　　　　　　　q_2k+1＝(－1)^2k+2{(－B－C)²＋(－C－A)²＋(－A－B)²}
　　　　　　　　　　　　＝2(A²＋B²＋C²＋AB＋BC＋CA)
　　　　　 となるので、
　　　　　　　　T_k+1＝T_k－(A²＋B²＋C²)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋2(A²＋B²＋C²＋AB＋BC＋CA)
　　　　　　　　　　　＝T_k＋(A²＋B²＋C²＋2AB＋2BC＋2CA)
　　　　　　　　　　　＝T_k＋(A＋B＋C)²
　　　　　　　　　　　＝T_k＋(p_2k+1)²
　　　　　　　　　　　＝T_k＋{(a＋b＋c)･(－2)^2k}²　←①より
　　　　　　　　　　　＝T_k＋16^k(a＋b＋c)²．
　　　　　 ここで、T_kは奇数、16^k(a＋b＋c)²は偶数なので
　　　　　 T_2k+1も正の奇数となる。

　　　　　　以上より、a＋b＋cが奇数であれば、
　　　　　　すべての自然数nに対してT_nが正の奇数であることが示された。




　　書く分量が多いですねぇ・・・・＾＾；；