2013筑波大 数学２

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【解答】

　(１)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_k=\int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}\sin 2nt\ \cos t\ dt\end{align*}}$
　　　とおくと、部分積分法を用いて　　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_k=\bigg[\sin 2nt\ \sin t\bigg]_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}-2n\int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}\cos 2nt\ \sin t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0-2n\int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}\cos 2nt\ \sin t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2n\bigg[\cos 2nt\ \cos t\bigg]_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}+4n^2\int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}\sin 2nt\ \cos t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2n\bigg\{\cos k\pi\ \cos\frac{k}{2n}\pi-\cos(k-1)\pi\cos\frac{k-1}{2n}\pi\bigg\}+4n^2\ I_k\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2n\bigg\{(-1)^k\ \cos\frac{k}{2n}\pi-(-1)^{k-1}\cos\frac{k-1}{2n}\pi\bigg\}+4n^2\ I_k\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4n^2-1\right)I_k=-2n\bigg\{(-1)^k\ \cos\frac{k}{2n}\pi-(-1)^{k-1}\cos\frac{k-1}{2n}\pi\bigg\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(-1)^{k+1}\cdot2n\left(\cos\frac{k}{2n}\pi+\cos\frac{k-1}{2n}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ I_k=(-1)^{k+1}\frac{2n}{4n^2-1}\left(\cos\frac{k}{2n}\pi+\cos\frac{k-1}{2n}\pi\right)\end{align*}}$
　　　となるので、題意は示された。

　(２)
　　　　　　　x(t)＝sint 、y(t)＝sin2nt
　　　とおくと、
　　　　　　　x($\scriptsize\sf{\pi}$ －t)＝sin($\scriptsize\sf{\pi}$ －t)
　　　　　　　　　　　　＝sint
　　　　　　　　　　　　＝x(t)
　　　　　　　y($\scriptsize\sf{\pi}$ －t)＝sin2n($\scriptsize\sf{\pi}$ －t)
　　　　　　　　　　　　＝－sin2nt
　　　　　　　　　　　　＝－y(t)
　　　となるので、曲線C_nのうちで
　　　0≦t≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2に対応する部分(C_n’とする)と、
　　　$\scriptsize\sf{\pi}$ /2≦t≦$\scriptsize\sf{\pi}$ に対応する部分(C_n”とする)
　　　はx軸について対称である。

　　　　　

　　　
　　　C_n’について、　
　　　0≦t≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の範囲では 0≦x(t)≦1であり、
　　　0≦2nt≦n$\scriptsize\sf{\pi}$ となるので、y(t)＝0となるのは、
　　　　　　　　2nt＝0，$\scriptsize\sf{\pi}$ ，2$\scriptsize\sf{\pi}$ ，･･･，n$\scriptsize\sf{\pi}$
　　　すなわち、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=0\ ,\ \frac{1}{2n}\pi\ ,\ \frac{2}{2n}\pi\ ,\ \frac{3}{2n}\pi\ ,\ldots\ ,\ \frac{n-1}{2n}\pi\ ,\ \frac{n}{2n}\pi\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　よって、C_n’はx軸と
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ 0\right)\ ,\ \left(\sin\frac{1}{2n}\pi\ ,\ 0\right)\ ,\ \left(\sin\frac{2}{2n}\pi\ ,\ 0\right)\ ,\ldots\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots\ ,\ \left(\sin\frac{n-1}{2n}\pi\ ,\ 0\right)\ ,\ \left(1\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
　　　で交わり、各区間
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left[\sin\frac{k-1}{2n}\pi\ ,\ \sin\frac{k}{2n}\pi\right]\ \ \ \ (k=1,2,3,\ldots,n)\end{align*}}$
　　　において、yの符号は変化しないので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=2\sum_{k=1}^{n}\int_{\sin\frac{k-1}{2n}\pi}^{\sin\frac{k}{2n}\pi}|y|\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sum_{k=1}^{n}\left|\int_{\sin\frac{k-1}{2n}\pi}^{\sin\frac{k}{2n}\pi}y\ dx\right|\end{align*}}$　････①
　　　ここで、x＝sint 、y＝sin2nt と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=\cos t\end{align*}}$
　　　なので、①は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=2\sum_{k=1}^{n}\left|\int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}\sin 2nt\cdot \cos t\ dt \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sum_{k=1}^{n}\left|(-1)^{k+1}\frac{2n}{4n^2-1}\left(\cos\frac{k}{2n}\pi+\cos\frac{k-1}{2n}\pi\right) \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4n}{4n^2-1}\sum_{k=1}^{n}\left(\cos\frac{k}{2n}\pi+\cos\frac{k-1}{2n}\pi\right)\end{align*}}$　････②
　　　となる。
　　　ここで、問題文に与えられた等式を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n}\cos\frac{k}{2n}\pi=\left(\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k}{2n}\pi\right)+\cos\frac{n}{2n}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan\frac{\pi}{4n}}-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n}\cos\frac{k-1}{2n}\pi=\cos\frac{0}{2n}\pi+\cos\frac{1}{2n}\pi+\cos\frac{2}{2n}\pi+\ldots +\cos\frac{n-1}{2n}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos 0+\left(\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k}{2n}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan\frac{\pi}{4n}}-1\right)\end{align*}}$
　　　と変形できるので、②は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{4n}{4n^2-1}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan\frac{\pi}{4n}}-1\right)+1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan\frac{\pi}{4n}}-1\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4n}{(4n^2-1)\tan\frac{\pi}{4n}}\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(３)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4n}=N\end{align*}}$ とおくと、n→∞のとき N→0 なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4n}{(4n^2-1)\tan\frac{\pi}{4n}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{N}}{\left(\frac{1}{4N^2}-1\right)\tan N\pi} \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow 0}\frac{4N}{\left(1-4N^2\right)\tan N\pi} \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow 0}\frac{4}{1-4N^2}\cdot\frac{N\pi}{\tan N\pi}\cdot\frac{1}{\pi} \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{1-0}\cdot 1\cdot\frac{1}{\pi} \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{\pi}\ }\end{align*}}$




　　細かい部分の処理が面倒ですが、丁寧に計算しましょう。