2013筑波大 数学１

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【解答】

　(１)
　　　倍角および3倍角の公式を用いると、
　　　　　　　　2g(t)－1
　　　　　　　＝2cos3t－2cos2t＋2cost－1
　　　　　　　＝2(4cos³t－3cost)－2(2cos²t－1)＋2cost－1
　　　　　　　＝8cos³t－4cos²t－4cost＋1
　　　　　　　＝(2cost)³－(2cost)²－2(2cost)＋1
　　　　　　　＝f(2cost)
　　　となり、題意は示された。

　(２)
　　　$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{7}\end{align*}}$ のとき、左辺は、　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2g\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\frac{\pi}{7}=2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}-2\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+2\cos^2\frac{\pi}{7}\end{align*}}$　････(A)
　　　となる。
　　　積→和の公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}=\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}=-\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}=\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
　　　であり、倍角公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos^2\frac{\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}+1\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)=\left(-\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)-\left(\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)+\left(\cos\frac{2\pi}{7}+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\cos\frac{\pi}{7}+2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{3\pi}{7}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\cos\frac{\pi}{7}+2\left(\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\cos\frac{\pi}{7}+2g\left(\frac{\pi}{7}\right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、題意は示された。

　(３)
　　　(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2g\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos-\cos+2g\left(\frac{\pi}{7}\right)-1=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{2g\left(\frac{\pi}{7}\right)-1\right\}\left(1+\cos\frac{\pi}{7}\right)=0\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\cos\frac{\pi}{7}\ne 0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2g\left(\frac{\pi}{7}\right)-1=0\end{align*}}$ ．
　　　(１)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2g\left(\frac{\pi}{7}\right)-1=f\left(2\cos\frac{\pi}{7}\right)=0\end{align*}}$
　　　となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\frac{\pi}{7}\end{align*}}$ は方程式f(x)＝0の解である。




　　いろいろな公式を駆使しますが、きちんと覚えていますか？