2013東北大 文系数学４

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【解答】

　(１)
　　　２つの放物線の交点のx座標は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=4(x-t)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2t\ ,\ \frac{2}{3}t\end{align*}}$
　　　なので、2tと1の大小関係によって、
　　　次の２つの場合が考えられる。

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0\leqq t<\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_{\frac{2}{3}t}^{2t}\left\{x^2-4(x-t)^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3\int_{\frac{2}{3}t}^{2t}\left(x-\frac{2}{3}t\right)\left(x-2t\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{6}\left(2t-\frac{2}{3}t\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32}{27}\ t^3\ }\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{1}{2}\leqq t\leqq 1\end{align*}}$ のとき
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_{\frac{2}{3}t}^{1}\left\{x^2-4(x-t)^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}(x-t)^3\right]_{\frac{2}{3}t}^{1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}-\frac{4}{3}(1-t)^3-\frac{8}{81}t^3-\frac{4}{81}t^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32}{27}\ t^3-4t^2+4t-1\ }\end{align*}}$

　(２)
　　　S(t)の導関数を求めると、
　　　(ⅰ)のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=\frac{32}{9}t^2\ (\geqq 0)\end{align*}}$
　　　(ⅱ)のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=\frac{32}{9}t^2-8t+4=\frac{4}{9}(4t-3)(2t-3)\end{align*}}$
　　　となるので、0≦t≦1におけるS(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　よって、S(t)の最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S\ (t)_{max}=S\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
　　　である。



　　場合分けに気づきましょう。