2013東北大 理系数学６

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【解答】

　(１)
　　　直径ABを含み底面と45°の角度をなす
　　　平面と円柱の上面との交線を右図のように
　　　CDとする。
　　　点Cを通りABに垂直な平面でVを切った
　　　ときの断面は、直角二等辺三角形となり、
　　　その頂点を右図のようにE、Fとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CF=EF=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　となるので、△OEFで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OE=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　である。

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0\leqq t\leqq \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のとき
　　　　　求める断面は右図のような
　　　　　台形PQRSとなり、
　　　　　長さはそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\sqrt{1-t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf RS=\sqrt{1-t^2}-\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　となるので、断面積S(t)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{1-t^2}+\left(\sqrt{1-t^2}-\frac{1}{\sqrt2}\right)\right\}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{\frac{1-t^2}{2}}-\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{1}{\sqrt2}\leqq t \leqq 1\end{align*}}$ のとき
　　　　　求める断面は右図のような
　　　　　直角二等辺三角形PQTとなり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=QT=\sqrt{1-t^2}\end{align*}}$
　　　　　となるので、断面積S(t)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-t^2}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}(1-t^2)\ }\end{align*}}$

　(２)
　　　立体Vの体積をWとすると、図の対称性より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=2\int_0^1S\ (t)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{\frac{1}{\sqrt2}}\left(\sqrt{\frac{1-t^2}{2}}-\frac{1}{4}\right)dt+2\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^1　\frac{1}{2}(1-t^2)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\underline{\int_0^{\frac{1}{\sqrt2}}\sqrt{1-t^2}dt}-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{\sqrt2}}dt+\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^1　(1-t^2)dt\end{align*}}$ ．
　　　ここで下線部の定積分は、
　　　右図の面積に等しいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=\sqrt2\left\{\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2\right\}-\frac{1}{2}\bigg[\ t\ \bigg]_0^{\frac{1}{\sqrt2}}+\left[t-\frac{1}{3}t^3\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^1\end{align*}}$
　　　となり、これを計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=\underline{\ \frac{\sqrt2\ \pi}{8}+\frac{2}{3}-\frac{5\sqrt2}{12}\ }\end{align*}}$
　　　となる。



　　ちゃんと図を描くと、場合分けが必要なことが分かると思います。