2013東北大 理系数学１

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【解答】

　(１)
　　　f(x)＝0の解と係数の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha+\beta+\gamma=k}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha\beta\gamma=1}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha\beta\cdot\beta\gamma+\beta\gamma\cdot\gamma\alpha+\gamma\alpha\cdot\alpha\beta}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{=\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)}$
　　　　　　 =k　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha\beta\cdot\beta\gamma\cdot\gamma\alpha}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{=(\alpha\beta\gamma)^2}$
　　　　　　 =1 ．
　　　よって、g(x)＝0の解と係数の関係より
　　　　　　　　g(x)＝x³＋kx＋1
　　　となる。

　(２)
　　　f(x)＝0とg(x)＝0が共通解$\scriptsize\sf{\alpha}$ をもつとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f(\alpha)=\alpha^3-k\alpha^2-1=0}$ 　････①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{g(\alpha)=\alpha^3+k\alpha-1=0}$　････②
　　　であり、これら２式の差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{k\alpha^2+k\alpha=k\alpha(\alpha+1)=0}$
　　　　　　⇔　k＝0　または　$\scriptsize\sf{\alpha=0}$ または　$\scriptsize\sf{\alpha=-1}$

　　　(ア) k＝0のとき
　　　　　　　　f(x)＝g(x)＝x³－1
　　　　　　となり、２つの方程式f(x)＝0とg(x)＝0は共通解をもつ。
　　　(イ) $\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝0のとき
　　　　　　①、②より
　　　　　　　　　－1＝0
　　　　　　となるので不適。
　　　(ウ) $\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝－1のとき
　　　　　　①、②より
　　　　　　　　－1－k－1＝0　⇔　k＝－2
　　　以上より、題意を満たすkの値は、
　　　　　　　　　k＝0，－2
　　　である。



　　３次方程式の解と係数の関係は大丈夫ですか？