2013北海道大 文系数学４

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【解答】

　(１)
　　　y＝x²の導関数は、y’＝2xとなるので、
　　　この放物線上の点(p，p²)における接線の方程式は、
　　　　　　　　y－p²＝2p(x－p)　⇔　y＝2px－p²
　　　となる。これが点Pを通るとき、
　　　　　　　　t³－8t²＋15t－56＝2pt－p²
　　　　　　⇔　p²－2tp＋t³－8t²＋15t－56＝0　････①
　　　Pを通る接線の本数は、pについての二次方程式①の
　　　実数解の個数に等しい。①の判別式は、
　　　　　　　　D/4＝t²－(t³－8t²＋15t－56)
　　　　　　　　　　 ＝－t³＋9t²－15t＋56　････②
　　　であり、tの関数f(t)を
　　　　　　　　f(t)＝－t³＋9t²－15t＋56
　　　で定めると、その導関数は
　　　　　　　　f’(t)＝－3t²＋18t－15t＝－3(t－1)(t－5)
　　　となるので、0≦t＜8におけるf(t)の増減は次のようになる。

　　　よって、0≦t＜8において常にf(t)＞0なので、
　　　判別式Dも常に正になる。
　　　よって、Pを通る接線は2本あることが示された。

　(２)
　　　①の２解をq、r（q＜r）とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=t-\sqrt{\frac{D}{4}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=t+\sqrt{\frac{D}{4}}\end{align*}}$ 　････③
　　　また、２つの接点Q、Rの座標は
　　　　　　Q(q，q²)、R(r，r²)
　　　であり、接線の方程式はそれぞれ
　　　　　　y＝2qx－q²、 y＝2rx－r²
　　　となる。
　　　放物線および２接線の位置関係は
　　　右図のようになるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_q^t\left\{x^2-(2qx-q^2)\right\}dx+\int_t^r\left\{x^2-(2rx-r^2)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_q^t\left(x-q\right)^2dx+\int_t^r\left(x-r\right)^2dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-q\right)^3\right]_q^t+\left[\frac{1}{3}\left(x-r\right)^3\right]_t^r\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(t-q\right)^3-\frac{1}{3}\left(t-r\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{t-\left(t-\sqrt{\frac{D}{4}}\right)\right\}^3-\frac{1}{3}\left\{t-\left(t+\sqrt{\frac{D}{4}}\right)\right\}^3\end{align*}}$　←③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\sqrt{\frac{D}{4}}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\sqrt{\frac{D}{4}}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(\sqrt{\frac{D}{4}}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\left(\sqrt{-t^3+9t^2-15t+56}\right)^3\ }\end{align*}}$　←②より




　　解と係数の関係を用いる手もあります。