2013北海道大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\left(\sin x+\cos x\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+2\sin x\cos x\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\cos x=\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt2\cdot\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)+t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}t^2+t-\frac{1}{\sqrt2}\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　合成すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\leqq x+\frac{\pi}{4}\leqq\frac{9\pi}{4}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\sqrt2\leqq t\leqq\sqrt2\ }\end{align*}}$ ．

　(３)
　　　(１)で求めたtの多項式をg(t)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\frac{1}{\sqrt2}\left(t+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac{3\sqrt2}{4}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、(２)で求めたtの範囲において、
　　　f(x)の最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\sqrt2\right)=\frac{1}{\sqrt2}\cdot2+\sqrt2-\frac{1}{\sqrt2}=\underline{\ \frac{3\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$
　　　であり、このとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$ ．

　　　一方、f(x)の最小値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\underline{\ -\frac{3\sqrt2}{4}\ }\end{align*}}$
　　　であり、このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{6}\ ,\ \frac{11\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{11\pi}{12}\ ,\ \frac{19\pi}{12}\ }\end{align*}}$ ．



　　まぁとくある問題ですね。