2013北海道大 理系数学１

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【解答】

　(１)
　　　tは交点Pのx座標なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\cos t=b\sin t\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos t=\frac{b}{a}\sin t\end{align*}}$　････①
　　　これをsin²t＋cos²t＝1に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2t+\left(\frac{b}{a}\sin t\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}\sin t=1 \end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sin t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
　　　となり、①より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos t=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\underline{\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　C₁、C₂の位置関係は右図のようになるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^t\left(a\cos x-b\sin x\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[a\sin x+b\cos x\bigg]_0^t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\sin t+b\cos t-b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}-b\end{align*}}$　←(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}-b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{a^2+b^2}-b\ }\end{align*}}$ ．

　(３)
　　　(２)と同様にTを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_t^{\pi/2}\left(b\sin x-a\cos x\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-b\cos x-a\sin x\bigg]_t^{\pi/2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a+a\sin t+b\cos t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{a^2+b^2}-a\end{align*}}$ ．
　　　T＝2Sなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2}-a=2\left(\sqrt{a^2+b^2}-b\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{a^2+b^2}=2b-a\end{align*}}$　
　　　左辺＞0より、右辺も
　　　　　　　　2b－a＞0　････②
　　　であり、両辺を2乗すると、
　　　　　　　　a²＋b²＝4b²－4ab＋a²
　　　　　　⇔　3b²＝4ab．
　　　両辺をb（≠0)で割ると、
　　　　　　　　3b＝4a
　　　となり、これは②も満たす。
　　　よって、求める条件は、
　　　　　　　　3b＝4a
　　　である。　　　　　



　　これは取っつきやすいですね。