① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3+\sqrt5\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{72}\end{align*}}$　　　　③ 4950　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha +\beta}{2}\end{align*}}$　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　(1)
　　　両辺にa^xをかけて整理すると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a^x)^2-3a^x+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a^x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、x＞0よりa^x＞1なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^x=\frac{3+\sqrt5}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \log_a\frac{3+\sqrt5}{2}\ }\end{align*}}$　･･･①

　(2)
　　　和が7になるような3つの目の組み合わせは、
　　　　　(1，1，5)、(1，2，4)、(1，3，3)、(2，2，3)
　　　であり、それぞれの順列は3通り、6通り、3通り、3通り
　　　あるので、求める確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+6+3+3}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{72}\ }\end{align*}}$　････②

　(3)
　　　x¹⁰⁰を(x－1)³で割ったときの商をA(x)、
　　　余りをax²+bx+cとおくと、
　　　　　　　　x¹⁰⁰=(x－1)³A(x)+ax²+bx+c　
　　　と表せる。両辺をxで微分すると、
　　　　　　　　100x⁹⁹=3(x－1)²A(x)+(x－1)³A’(x)+2ax+b
　　　　　　　　　　　　　=(x－1)²{3A(x)+(x－1)A’(x)}+2ax+b．
　　　この式の{　}内をB(x)とおくと、
　　　　　　　　100x⁹⁹=(x－1)²B(x)+2ax+b
　　　となり、さらに両辺をxで微分すると、
　　　　　　　　9900x⁹⁸=2(x－1)B(x)+(x－1)²B’(x)+2a．
　　　これにx=1を代入すると、
　　　　　　　　9900=2a　⇔　a=4950　････③
　　　を得る。

　(4)
　　　求める極限をLとする。
　　　(ア) n=2mのとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^m\ a_k=m(\alpha +\beta)\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{S_{2m}}{2m}=\frac{\alpha +\beta}{2}\end{align*}}$
　　　(イ) n=2m－1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^m\ a_k=m(\alpha +\beta)-\beta\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{S_{2m-1}}{2m-1}=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{m(\alpha +\beta)-\beta}{2m-1}=\frac{\alpha +\beta}{2}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\frac{S_{2m}}{2m}=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{S_{2m-1}}{2m-1}\end{align*}}$
　　　なので、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\underline{\ \frac{\alpha +\beta}{2}\ }\end{align*}}$　････④

　(4)
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^{\infty}\log\frac{n^2-1}{n^2}\end{align*}}$　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=2}^{n}\log\frac{k^2-1}{k^2}\end{align*}}$　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=2}^{n}\log\left(\frac{k-1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=2}^{n}\left(\log\frac{k-1}{k}+\log\frac{k+1}{k}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=2}^{n}\left(\log\frac{k-1}{k}-\log\frac{k}{k+1}\right)\end{align*}}$　････★
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(\log\frac{1}{2}-\log\frac{2}{3}\right)+\left(\log\frac{2}{3}-\log\frac{3}{4}\right)+\ldots\left(\log\frac{n-1}{n}-\log\frac{n}{n+1}\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\log\frac{1}{2}-\log\frac{n}{n+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\log\frac{1}{2}-\log\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$　････⑤



　　(4)は★のように処理するのがミソです！