2011同志社大 理系（全学部日程） １

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【解答】

　(1)
　　　　右辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{A(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-2)}\end{align*}}$
　　　　　　=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(B+C)x^2+(A-2B+2C)x-2A-2B+C}{(x+1)^2(x-2)}\end{align*}}$
　　　　右辺と分子の係数比較をすると、
　　　　　　B+C=1
　　　　　　A－2B+2C=0
　　　　　　－2A－2B+C=5
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　A=－2、B=0、C=1　･･･ア～ウ

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)}dx=\int_0^1\left(-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x-2}\right)dx \end{align*}}$
　　 　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}\right]_0^1 \end{align*}}$
　　 　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{-1-\log2\ \ }\end{align*}}$ ･･･エ


　　まぁ、計算ミスさえしなければ問題ないでしょう。


　　(2)
　　　　最大値が5以下→3個とも5以下の目が出る
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{6}\right)^3=\underline{\frac{125}{216}\ \ }\end{align*}}$ ･･･オ

　　　　最大値が4以下→3個とも4以下の目が出る
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^3=\underline{\frac{8}{27}\ \ }\end{align*}}$ ･･･カ

　　　　「最大値が6」の余事象は「最大値が5以下」なので、
　　　　　　最大値が6になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^3=\underline{\frac{91}{216}\ \ }\end{align*}}$ ･･･キ

　　　　「最大値が5以下」=「最大値が5」または「最大値が4以下」なので、
　　　　　　最大値が5になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{6}\right)^3-\left(\frac{4}{6}\right)^3=\underline{\frac{61}{216}\ \ }\end{align*}}$ ･･･ク

　　　　同様に考えると、
　　　　　　最大値が4になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^3-\left(\frac{3}{6}\right)^3=\frac{37}{216}\end{align*}}$
　　　　　　最大値が3になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{6}\right)^3-\left(\frac{2}{6}\right)^3=\frac{19}{216}\end{align*}}$
　　　　　　最大値が2になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\right)^3-\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{7}{216}\end{align*}}$
　　　　　　最大値が1になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}\end{align*}}$

　　　　よって、最大値の期待値Eは、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=6\times\frac{91}{216}+5\times\frac{61}{216}+4\times\frac{37}{216}+3\times\frac{19}{216}+2\times\frac{7}{216}+1\times\frac{1}{216}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\frac{119}{24}\ \ }\end{align*}}$ ･･･ケ


　　うまく誘導がついているので、そのまま乗っかっていくだけです。