① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt x<\frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{7}\end{align*}}$　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3^n+(-1)^n}{2}\end{align*}}$　　　　
　　

【解説】

　(1)
　　　真数＞0なので
　　　　　　　x－1＞0 かつ 2－x＞0　すなわち、1＜x＜2．
　　　与式の底を変換すると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2(x-1)+\frac{\log_2(2-x)}{\log_2\frac{1}{2}}<0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2(x-1)<\log_2(2-x)\end{align*}}$．
　　　ここで、底＞1より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-1<2-x\ \ \Leftrightarrow\ \ x<\frac{3}{2}\end{align*}}$．
　　　これと真数条件より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1\lt x<\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　与えられた範囲における$\scriptsize\sf{\tan\theta}$ の範囲は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\tan\theta\gt 1}$ 　････(※)
　　　倍角公式を用いると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\tan\theta+\frac{1-\tan^2\theta}{2\tan\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\tan\theta+\frac{1}{2\tan\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >2\sqrt{\frac{1}{4}\tan\theta\cdot\frac{1}{2\tan\theta}}\end{align*}}$　←(※)より相加･相乗平均
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ．
　　　等号成立は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\tan\theta=\frac{1}{2\tan\theta}\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan^2\theta=2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \tan\theta=\sqrt2\ }\end{align*}}$　←(※)より

　(3)
　　　題意より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=(1-t)\ \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-t)\cdot\frac{\overrightarrow{\sf AB}+2\overrightarrow{\sf AC}}{3}\end{align*}}$　････(ア)
　　　一方、与えられた等式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf AQ}+\left(\overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf AB}\right)+2\left(\overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf AC}\right)=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AQ}=\frac{\overrightarrow{\sf AB}+2\overrightarrow{\sf AC}}{7}\end{align*}}$　････(イ)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は一次独立なので、(ア)と(イ)の係数を比較すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-t}{3}=\frac{1}{7}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{4}{7\ }}\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf a_n &\sf b_n\\ \sf b_n&\sf a_n\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{n+1}=\begin{pmatrix}\sf a_n&\sf b_n\\ \sf b_n&\sf a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 2 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf a_{n+1} &\sf b_{n+1}\\ \sf b_{n+1} &\sf a_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a_n+2b_n&\sf 2an+b_n\\ \sf 2a_n+b_n &\sf a_n+2b_n\end{pmatrix}\sf \end{align*}}$ ．
　　　成分を比較すると、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=a_n+2b_n\ \ ,\ \ b_{n+1}=2a_n+b_n\end{align*}}$　････(ウ)
　　　これら2式を辺々加えると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}+b_{n+1}=3\left(a_n+b_n\right)\end{align*}}$
　　　数列{a_n+b_n}は、公比3の等比数列になるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+b_n=(a_1+b_1)\cdot3^{n-1}=3^n\end{align*}}$　････(エ)
　　　また、(ウ)の2式を辺々引くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-b_{n+1}=-\left(a_n-b_n\right)\end{align*}}$
　　　数列{a_n－b_n}は、公比－1の等比数列になるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=(a_1-b_1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^n\end{align*}}$　････(オ)
　　　(エ)と(オ)を辺々加えると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a_n=3^n+(-1)^n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\ \frac{3^n+(-1)^n}{2}\ }\end{align*}}$
　　　を得る。


　　(4)の漸化式が少し面倒ですね。