① 2(n+1)　　　　② n(n+1)　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)\end{align*}}$

　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{48}n(n+1)(n+2)(n+3)\end{align*}}$　　　　

　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3n(n+3)}{(n+1)(n+2)}\end{align*}}$　　　　⑦ 3　　


【解説】

　　　
　　　f_n(x)を計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=\sum_{k=0}^n(x-k)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\sum_{k=1}^n(x^2-2xk+k^2)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+nx^2-n(n+1)x+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\left\{x^2-nx+\frac{1}{6}n(2n+1)\right\}\end{align*}}$ ．
　　　xで微分すると、、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n^{\ '}(x)=(n+1)(2x-n)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(n+1)x-n(n+1)\end{align*}}$　････①②
　　　となるので、f_n(x)の増減は次のようになる。

　　　よって、f_n(x)が最小になるのは
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{n}{2}\end{align*}}$　････③
　　　のときであり、その値は、
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\left(\frac{n}{2}\right)=(n+1)\left\{\frac{n^2}{4}-\frac{n^2}{2}+\frac{1}{6}n(2n+1)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}n(n+1)\left\{-3n+2(2n+1)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)\ }\end{align*}}$　････④
　　　これより、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k=\frac{1}{12}\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\sum_{k=1}^n\frac{1}{4}\left\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{48}\bigg[(1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3)+(2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4)+\ldots\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left\{n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)\right\}\bigg]\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{48}n(n+1)(n+2)(n+3)\ }\end{align*}}$　････⑤
　　　また、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=12\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =12\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\bigg[\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}\right)+\ldots +\left\{\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\bigg]\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\left\{\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3n(n+3)}{(n+1)(n+2)}\ }\end{align*}}$　････⑥
　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n(n+3)}{(n+1)(n+2)} \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3\left(1+\frac{3}{n}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\cdot1}{1\cdot1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\ }\end{align*}}$　････⑦



　　⑤は少しテクニックを使いましたが、根性でΣ計算をしても構いません。