2013関西大 理系数学（2月2日） １

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【解答】

　(1)
　　　f(x)の導関数は、
　　　　　　　　f’(x)=3x²－12x+9
　　　　　　　　　　　=3(x－1)(x－3)
　　　となるので、増減は次のようになる。
　　　　　

　　　よって、y=f(x)のグラフの概形は、
　　　右図のようになる。


　(2)
　　　2式を連立させると、
　　　　　　　　x³－6x²+9x=ax
　　　　　　⇔　x(x²－6x+9－a)=0
　　　となり、二次方程式
　　　　　　　　x²－6x+9－a=0　････①
　　　が、異なる2つの正の解$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ をもつためには、
　　　　　　　判別式D/4=3²－(9－a)＞0　⇔　a＞0
　　　かつ、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =6＞0
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =9－a＞0　⇔　a＜9
　　　であればよい。
　　　よって、求めるaの値の範囲は、
　　　　　　　　　　　0＜a＜9
　　　となる。
　　　また、$\scriptsize\sf{\beta}$ =2$\scriptsize\sf{\alpha}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =3$\scriptsize\sf{\alpha}$ =6　⇔　$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =2$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²=9－a　⇔　a=1
　　　となる。

　(3)
　　　囲まれる2つの部分は下図のようになるので、
　　　面積の和をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^2\left\{\left(x^3-6x^2+9x\right)-x\right\}dx+\int_2^4\left\{x-\left(x^3-6x^2+9x\right)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{4}x^4-2x^3+4x^2\right]_0^2+\left[-\frac{1}{4}x^4+2x^3-4x^2\right]_2^4\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 8\ }\end{align*}}$　．

　　　　　　　　　


　　これは確実にキープです！