コ －1　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　シ 2　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 3&\sf 2\\ \sf 2 &\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$　　　　セ 3－2ⁿ⁺²　　　　

　　ソ 2－2ⁿ⁺¹　　　　タ －3+3･2ⁿ　　　　チ －2+3･2ⁿ　　ツ 3x+2y　　　

【解説】

　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=B\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$　　････(※)

　　　まず、Bの逆行列B^-1が存在するので、
　　　　　　　　detB=b－a²≠0　････①
　　　(※)に成分を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -1&\sf -2\\ \sf 3 &\sf 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a\\ \sf a &\sf b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a\\ \sf a&\sf b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf -1-2a&\sf -a-2b\\ \sf 3+4a&\sf 3a+4b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf ac\\ \sf a &\sf bc\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　　両辺の(1，1)成分および(2，1)成分を比較すると、
　　　　　　　　　　a=－1　････コ
　　　これより、両辺の(1，2)成分と(2，2)成分を比較すると、
　　　　　　　　　　1－2b=－c、　－3+4b=bc ．
　　　cを消去すると、
　　　　　　　　　　－3+4b=b(2b－1)　⇔　2b²－5b+3=0．
　　　①の条件下でこれを解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{3}{2}\end{align*}}$　････サ
　　　となり、このとき、c=2．　････シ
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -1\\ \sf -1 & \sf \frac{3}{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -2 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となり、①より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf detB=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　なので、Bの逆行列は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}=\begin{pmatrix}\sf 3&\sf 2\\ \sf 2&\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　　よって、(※)の両辺に左からB^-1をかけると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}AB=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　であり、両辺をn乗すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}ABB^{-1}AB\ldots B^{-1}AB=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 2\end{pmatrix}^n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ B^{-1}A^nB=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 2^2\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　　両辺の右からB^-1を、左からBをかけると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=B\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf 2^2\end{pmatrix}B^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -2& \sf 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 2^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf 2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 3-2^{n+1} &\sf 2-2^{n+1}\\ \sf -3+2\cdot2^n &\sf -2+3\cdot2^n\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････セ～チ
　　　この行列が、点P(0，1)をQ(x，y)に移すので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}=\begin{pmatrix}\sf 3-2^{n+1} &\sf 2-2^{n+1}\\ \sf -3+2\cdot2^n &\sf -2+3\cdot2^n\end{pmatrix}\binom{0}{1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x}{y}=\binom{\ 2-2\cdot 2^n}{-2+3\cdot 2^n}\end{align*}}$ ．
　　　2ⁿを消去するために、
　　　　　　　　　　3x=6－6･2ⁿ
　　　　　　　　　　2y=－4+6･2ⁿ
　　　これら2式を辺々加えると、
　　　　　　　　　　3x+2y=2　････ツ
　　　を得る。



　　行列を対角化してから累乗を求めるのは定番ですね。