ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{49}{2}\end{align*}}$　　　　ホ 2　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{2}\end{align*}}$　　　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(n+\frac{50}{n}\right)-1\end{align*}}$　　　　ム 5　　　　

　　メ 10　　　　モ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{13}{2}\end{align*}}$　　　　ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt N\end{align*}}$　　　　ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt N-1\end{align*}}$　　　

【解説】

　(1)
　　　　カードに書かれている番号をAとする。

　　　(a)の場合
　　　　　　商品券の枚数は、Aに等しいので、その期待値は、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{0+1+2+\ldots +48+49}{50}=\frac{(0+49)\cdot 50\cdot \frac{1}{2}}{50}=\frac{49}{2}\end{align*}}$　････ヘ
　　　(b)の場合
　　　　　　5000円の商品券の枚数は、Aを5で割ったときの
　　　　　　商に等しく、1000円の商品券の枚数は、Aを5で
　　　　　　割ったときの余りに等しい。
　　　　　　Aを5で割った余りは0、1、2、3、4の場合があり、
　　　　　　それぞれ10通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(0+1+2+3+4\right)\times 10}{50}=2\end{align*}}$　　････ホ
　　　　　　Aを5で割った商は0～9の場合があり、
　　　　　　それぞれ5通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(0+1+2+\ldots +9\right)\times 5}{50}=\frac{(0+9)\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot 5}{50}=\frac{9}{2}\end{align*}}$　　････マ
　　　(c)の場合
　　　　　　(b)の場合と同じように考えると、
　　　　　　1000×n円の商品券の枚数は、Aをnで割ったときの
　　　　　　商に等しく、1000円の商品券の枚数は、Aをnで
　　　　　　割ったときの余りに等しい。
　　　　　　Aをnで割った余りは0～n－1の場合があり、
　　　　　　それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{50}{n}\end{align*}}$ 通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+\ldots +(n-1)\right\}\times \frac{50}{n}}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n-1)\cdot n\cdot\frac{1}{2}\times \frac{50}{n}}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n-1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　また、Aをnで割った商は0～ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{50}{n}-1\end{align*}}$ の場合があり、
　　　　　　それぞれn通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+2+\ldots +\left(\frac{50}{n}-1\right)\right\}\times n}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\frac{50}{n}-1\right)\cdot \frac{50}{n}\cdot\frac{1}{2}\times n}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{50-n}{2n}\end{align*}}$ ．
　　　　　　よって、商品券の枚数の合計は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{2}+\frac{50-n}{2n}=\frac{1}{2}\left(n+\frac{50}{n}\right)-1\end{align*}}$　←ミ
　　　　　　となり、この値をE₅₀とする。
　　　　　　　(ⅰ) n=1、50のとき、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{50}=\frac{1}{2}\left(1+50\right)-1=\frac{49}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　(ⅱ) n=2、25のとき、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{50}=\frac{1}{2}\left(2+25\right)-1=\frac{25}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　(ⅲ) n=5、10のとき、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{50}=\frac{1}{2}\left(5+10\right)-1=\frac{13}{2}\end{align*}}$
　　　　　　となるので、E₅₀の値は、(ⅲ)の場合が最小となる。････ムメモ

　(2)
　　　(c)の場合と同じように考えると、
　　　Aをnで割った余りは0～n－1の場合があり、
　　　それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{n}\end{align*}}$ 通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+\ldots +(n-1)\right\}\times \frac{N}{n}}{N}=\frac{n-1}{2}\end{align*}}$
　　　また、Aをnで割った商は0～ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{n}-1\end{align*}}$ の場合があり、
　　　それぞれn通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+2+\ldots +\left(\frac{N}{n}-1\right)\right\}\times n}{N}=\frac{N-n}{2n}\end{align*}}$ ．
　　　よって、枚数の合計の期待値をE_Nとすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_N=\frac{n-1}{2}+\frac{N-n}{2n}=\frac{1}{2}\left(n+\frac{N}{n}\right)-1\end{align*}}$ ．
　　　ここでn＞0より、相加･相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_N\geqq \sqrt{n\cdot\frac{N}{n}}-1=\sqrt N-1\end{align*}}$
　　　であり、等号が成立するのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=\frac{N}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\sqrt N\ (>0)\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=\sqrt N\end{align*}}$ のときE_Nは、最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt N-1\end{align*}}$ をとる。　････ヤユ



　　徐々に一般化していくわけですが、それまでの結果から類推していきましょう。