ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt2}{6}\end{align*}}$　　　　ウ 2　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　オ x²－y²　　　　

　　カ xy　　　　キ x⁴－x²－2　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　ケ 1　　　　


【解説】

　(1)
　　　分子･分母に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2-5\sqrt2\ i\end{align*}}$ をかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(1+2\sqrt2\ i\right)\left(-2-5\sqrt2\ i\right)}{\left(-2+5\sqrt2\ i\right)\left(-2-5\sqrt2\ i\right)}=\frac{18-9\sqrt2\ i}{54}=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt2}{6}\ i\end{align*}}$　････アイ
　　　分子･分母に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-2\sqrt2\ i\end{align*}}$ をかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(1+2\sqrt2\ i\right)\left(1-2\sqrt2\ i\right)}{\left(-2+5\sqrt2\ i\right)\left(1-2\sqrt2\ i\right)}=\frac{9}{18+9\sqrt2\ i}=\frac{1}{2+\sqrt2\ i}\end{align*}}$　････ウエ

　(2)
　　　右辺を展開すると、　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2\sqrt2\ i=x^2-y^2+2xy\ i\end{align*}}$
　　　となり、両辺の成分を比較すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-y^2=1\ \ ,\ \ xy=\sqrt2\end{align*}}$　　････オカ
　　　yを消去すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(\frac{\sqrt2}{x}\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-x^2-2=0\end{align*}}$　　････キ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2-2)(x^2+1)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　となり、このとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=1\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2\sqrt2 \ i=\left(\sqrt2+i\right)^2\end{align*}}$　････クケ




　　サクサクっとどうぞ！