2013関西学院大 理系（個別日程） 数学３

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【解答】

　(1)
　　　与えられた座標より、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=(x\ ,\ y\ ,\ z)-(0\ ,\ 3\ ,\ 0)=(x\ ,\ y-3\ ,\ z)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=(x\ ,\ y\ ,\ z)-(3\ ,\ 6\ ,\ 0)=(x-3\ ,\ y-6\ ,\ z)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}=2(x\ ,\ y-3\ ,\ z)+(x-3\ ,\ y-6\ ,\ z)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (3x-3\ ,\ 3y-12\ ,\ 3z)\ }\end{align*}}$

　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=(x\ ,\ y\ ,\ z)-(5\ ,\ 0\ ,\ 0)=(x-5\ ,\ y\ ,\ z)\end{align*}}$
　　　なので、内積を計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot (2\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP})=(3x-3)(x-5)+(3y-12)y+3z^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-6x+y^2-4y+z^2+5=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=8\end{align*}}$
　　　となるので、点P(x，y，z)は、中心(3，2，0)、半径$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt2\end{align*}}$ の
　　　球面上にある。

　(3)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-5\ ,\ 3\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(-2\ ,\ 6\ ,\ 0)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=(-5)^2+3^2+0=34\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|^2=(-2)^2+6^2+0=40\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=10+18+0=28\end{align*}}$ ．
　　　よって、△ABCの面積Sは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{34\cdot 40-28^2}=\underline{\ 12\ }\end{align*}}$

　(4)
　　　四面体PABCの△ABCを底面として考える。
　　　3点A、B、Cおよび球の中心Qはすべてxy平面上にあるので、
　　　PQ⊥△ABCとなるとき、高さが最大になり、その値は球の
　　　半径に等しい。
　　　よって、体積Vの最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{1}{3}\cdot12\cdot 2\sqrt2=\underline{\ 8\sqrt2\ }\end{align*}}$ ．



　　(4)で球の中心Qが平面ABC上にあることに気づけば、問題ないでしょう。