2013関西学院大 理系（個別日程） 数学２

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【解答】

　(1)
　　　n=1のとき
　　　　　　　　a₁=S₁=4+6－1=9　
　　　n≧2のとき
　　　　　　　　a_n=S_n－S_n-1
　　　　　　　　　 =(4n³+6n²－n)－{4(n－1)³+6(n－1)²－(n－1)}
　　　　　　　　　 =12n²－3 ．
　　　これはn=1のときも成り立つ。

　(2)
　　　(1)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right) \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12(n+1)^2-3-(12n^2-3)}{\sqrt{12(n+1)^2-3}+\sqrt{12n^2-3}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12(2n+1)}{\sqrt{12(n+1)^2-3}+\sqrt{12n^2-3}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{12\left(1+\frac{1}{n}\right)^2-\frac{3}{n^2}}\ +\ \sqrt{12-\frac{3}{n^2}}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{12\cdot 2}{\sqrt{12}+\sqrt{12}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt3\ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　(1)より
　　　　　　　　a_2n=12･(2n)²－3=48n²－3
　　　なので、
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n(48k^2-3)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =48\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n-1)-3n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\left\{16n^2+24n+5\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n(4n+1)(4n+5)\ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{T_n}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(4n+1)(4n+5)}{4n^3+6n^2-n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(4+\frac{1}{n}\right)\left(4+\frac{5}{n}\right)}{4+\frac{6}{n}-\frac{1}{n^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\cdot 4}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\ }\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　(1)より
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{12k^2-3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n}{3(2n+1)}\ }\end{align*}}$ ．




　　これも基本的な問題なので、落としちゃダメです。